Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Операціоналізація означає:

  1. AПроведення дослідження в реальних робочих умовах, наприклад у лікарні
  2. BНадання інструкцій учасникам
  3. CВибір статистичного тесту
  4. DВизначення змінних точно й вимірювано
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:

  1. AКонтрольовану змінну
  2. BМедіатор
  3. CМодератор
  4. DСторонню змінну
3.Описова статистикаСередня
3035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 52, 27, 54, 43.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 165?

μ = 170σ = 10x = 165
P =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)100,15200,25300,3400,3μ = 27,5

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3
Var(X) =
6.ІмовірністьСкладна
n = 6, p = 0,3: P(X = 1) = ?k0123456

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 6p = 0,3k = 1
P =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа праворуч від z = 0,6591

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,6591. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,6591
z =
8.Нормальний розподілСкладна
557085100115130145балівниз 30%

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів30%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 7, s = 10,5L = ?Ux̄ = 30,5E99%

Вибірка з 7 елементів має середнє 30,5 і стандартне відхилення s = 10,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 30,5s = 10,599%t(6) = 3,707
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
n = 21σ = ?Us = 5,895%

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 5,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,9901,99

Вибірка з 81 студентів має середній бал 115,1 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,1s = 20n = 81
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −2,57602,576

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 74,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 74,3σ = 8n = 10099%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy1433475627639721185xy510406080

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 36Σy = 372Σx² = 286Σy² = 24280Σxy = 2518
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy14191624183520462253xy15202040x = 21

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (21, 52). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(21, 52)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна17194177нічна зміна18341365Разом355354142

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, без дефекту».

сума рядка = 65сума стовпця = 35N = 142
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
такніРазомвік 18–30324880вік 31–50314980вік 51+35760Разом66154220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Визначення змінних точно й вимірювано

Чому це відповідь

Операціоналізація перетворює абстрактні поняття на конкретні вимірювання, щоб дослідження можна було відтворити.

Відповідь

D · Визначення змінних точно й вимірювано
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Медіатор

Чому це відповідь

Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.

Відповідь

B · Медіатор
3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,35

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 202/5 = 40,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + 11,6² + (−13,4)² + 13,6² + 2,6² = 713,2

Стандартне відхилення

s = √(713,2/4) = 13,35

Відповідь

s = 13,35
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085
5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 108,8

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,15 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,3 = 27,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 865

Дисперсія

Var(X) = 865 − 27,5² = 108,8

Відповідь

Var(X) = 108,8
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,3025

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 6·0,31·0,75 = 6·0,3·0,1681 = 0,3025

Відповідь

P = 0,3025
7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,41

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,6591 = 0,3409

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,3409 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,41

Відповідь

z = −0,41
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 92,2 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 балів

Відповідь

x = 92,2 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 15,79

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Похибка оцінки

E = 3,707·10,5/√7 = 14,71

Інтервал

30,5 ± 14,71 → [15,79, 45,21]

Відповідь

нижня межа = 15,79
10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 4,437 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·5,8² = 672,8

Межі для σ²

672,8/34,17 = 19,69
672,8/9,591 = 70,15

Межа для σ

σ = √19,69 = 4,437 µm

Відповідь

σ = 4,437 µm

95 % інтервал для σ: [4,437, 8,376] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,205

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерію

t = (115,1 − 120)/2,222 = −2,205

Відповідь

t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 76,36

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Межа інтервалу

U = 74,3 + 2,061 = 76,36

Відповідь

U = 76,36
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9803

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 2518 − 36·372/6 = 286
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 24280 − 372²/6 = 1216

Коефіцієнт кореляції

r = 286/√(70·1216) = 0,9803

Відповідь

r = 0,9803
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 3,1

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 177/5 = 35,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Лінія регресії

b = 180/40 = 4,5
a = 35,4 − 4,5·18 = −45,6
ŷ = −45,6 + 4,5·x

Прогнозоване значення

ŷ = −45,6 + 4,5·21 = 48,9

Залишок

e = 52 − 48,9 = 3,1

Відповідь

e = 3,1

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 16,02

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 65·35/142 = 16,02

Відповідь

E = 16,02
16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 24,58

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

вік 18–30: 24, 56
вік 31–50: 24, 56
вік 51+: 18, 42

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (31 − 24)²/24 + (49 − 56)²/56 + (3 − 18)²/18 + (57 − 42)²/42
χ² = 24,58

Рішення

df = 2, χ²crit = 9,210
24,58 > 9,210

Відповідь

χ² = 24,58

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology