Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник вивчає вплив статі на бали за тестом пам'яті. Чому це квазіексперимент, а не справжній експеримент?

  1. AНЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
  2. BДослідження відбувається в лабораторії
  3. CЄ лише дві умови, а справжній експеримент потребує щонайменше трьох рівнів НЗ
  4. DЗЗ не вимірюють
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження пам'яті використовує дизайн повторних вимірювань, у якому всі вивчають спершу список A, а потім список B. Пригадування краще для списку B. Яка вада найімовірніша?

  1. AЗавеликий обсяг вибірки
  2. BІндивідуальні відмінності між групами
  3. CЕфекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано
  4. DВикористання порядкового рівня вимірювання
3.Описова статистикаСередня
10152025303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 59, 39, 14, 10.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 58.

μ = 70σ = 10x = 58
z =
5.ІмовірністьСередня
n = 15k = 3N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.

n = 15k = 3
N =
6.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,3520,340,360,05μ

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05Y = −2X + 4
σY =
7.Нормальний розподілСередня
5080,5P = ?

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 50 і 80,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 80,5
P =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 500x = ?10%

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 7, s = 6,5LUx̄ = 67E = ?90%

Вибірка з 7 елементів має середнє 67 і стандартне відхилення s = 6,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 67s = 6,590%t(6) = 1,943
E =
10.Довірчі інтервалиСкладна
μ₁ − μ₂, t(29) = 2,0450L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 19 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 23 ділянок, середнє 23 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 19s₁ = 7n₂ = 23x̄₂ = 23s₂ = 695%t(29) = 2,045
нижня межа = kg
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−2,0452,045t = ?df = 29

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 100,5, стандартне відхилення 6. Група 2: 26 студентів, середній бал 93,3, стандартне відхилення 4,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 100,5s₁ = 6n₂ = 26x̄₂ = 93,3s₂ = 4,5
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 20E = 395%
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy366471582684794xy46708090

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 25Σy = 397Σx² = 135Σy² = 32013Σxy = 2054
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy124218318415512614xy246152025x = 2,5

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 15)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
автобусвелосипедавтомобільРазомстуденти15383184працівники4515868Разом605339152

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, автомобіль».

сума рядка = 84сума стовпця = 39N = 152
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 7 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею

Чому це відповідь

У квазіексперименті НЗ — природна відмінність між людьми. Без випадкового розподілу інші відмінності між групами можуть змішуватися з результатами.

Відповідь

A · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано

Чому це відповідь

Коли всі учасники проходять умови в однаковому порядку, покращення може відображати практику, а не список. Контрбалансування (ABBA або половина AB, половина BA) це контролює.

Відповідь

C · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано
3.Описова статистика

Відповідь: s = 19,96

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 148/5 = 29,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,6)² + 29,4² + 9,4² + (−15,6)² + (−19,6)² = 1593

Стандартне відхилення

s = √(1593/4) = 19,96

Відповідь

s = 19,96
4.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (58 − 70)/10 = −1,2

Відповідь

z = −1,2
5.Імовірність

Відповідь: N = 455

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Відповідь

N = 455
6.Імовірність

Відповідь: σY = 3,682

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,1, Var(X) = 3,39, σX = 1,841

Лінійна зміна

σY = |−2|·1,841 = 3,682

Відповідь

σY = 3,682

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·2,1 + 4 = −0,2.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8726

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Площа між

P = Φ(1,55) − Φ(−1,5) = 0,9394 − 0,06681 = 0,8726

Відповідь

P = 0,8726
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 448,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Відповідь

x = 448,74 h
9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,774

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·6,5/√7 = 4,774

Відповідь

E = 4,774
10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −9,251 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

sp² = (7·7² + 22·6²)/29 = 39,14
sp = 6,256

Похибка оцінки

E = 2,045·6,256·√(1/8 + 1/23) = 5,251

Інтервал

−4 ± 5,251 → [−9,251, 1,251]

Відповідь

нижня межа = −9,251 kg
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,114

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

sp² = (4·6² + 25·4,5²)/29 = 22,42
sp = 4,735

Стандартна похибка

SE = 4,735·√(1/5 + 1/26) = 2,312

Статистика критерію

t = (100,5 − 93,3)/2,312 = 3,114

Відповідь

t = 3,114

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 171

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

Округліть угору

n = 171

Відповідь

n = 171
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9845

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 2054 − 25·397/5 = 69
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 32013 − 397²/5 = 491,2

Коефіцієнт кореляції

r = 69/√(10·491,2) = 0,9845

Відповідь

r = 0,9845
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,862

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 101/6 = 16,83

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

Лінія регресії

b = −35,5/17,5 = −2,029
a = 16,83 − (−2,029)·3,5 = 23,93
ŷ = 23,93 − 2,029·x

Прогнозоване значення

ŷ = 23,93 + (−2,029)·2,5 = 18,86

Залишок

e = 15 − 18,86 = −3,862

Відповідь

e = −3,862

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 21,55

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 84·39/152 = 21,55

Відповідь

E = 21,55
16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 16,81

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 7 − 1 = 6

Таблиця

χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Відповідь

χ²crit = 16,812

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology