Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

95% довірчий інтервал для середнього 50 становить від 46 до 54. Яке тлумачення найточніше?

AВикористана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
B95% окремих учасників вибірки набрали від 46 до 54 балів за цим вимірюванням
CРезультат не значущий
DІмовірність того, що середнє вибірки дорівнює 50, становить 95%

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Міри розміру ефекту, як-от d Коена, повідомляють тому, що вони:

AПоказують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки
BВказують, скільки учасників вибуло
CСкасовують потребу в будь-якій гіпотезі
DПоказують, чи статистично значущий результат на обраному рівні альфа

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 28, 14, 59, 13.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 40.

μ = 70σ = 15x = 40

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,05, 0,25, 0,2

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,2, 0,1Y = 2X + 4

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 98,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 12 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,7 і стандартне відхилення 0,9. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 12d̄ = −6,7s_d = 0,990%t(11) = 1,796

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 9. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 9E = 295%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 74,25 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,25s = 5n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 202,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 202,1σ = 10n = 6490%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків

Чому це відповідь

95% ДІ дає діапазон правдоподібних значень параметра популяції. Вужчі інтервали, отримані на більших вибірках, означають точніші оцінки.

Відповідь

A · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

Чому це відповідь

У великих вибірках навіть крихітні ефекти можуть бути значущими. Розмір ефекту виражає величину відмінності, напр. d = 0,2 малий, 0,5 середній, 0,8 великий.

Відповідь

A · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистика

Відповідь: s = 19,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 154/5 = 30,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,2² + (−2,8)² + (−16,8)² + 28,2² + (−17,8)² = 1487

Стандартне відхилення

s = √(1487/4) = 19,28

Відповідь

s = 19,28

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (40 − 70)/15 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 2,56

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,2 = 1,8

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,2 = 5,8

Дисперсія

Var(X) = 5,8 − 1,8² = 2,56

Відповідь

Var(X) = 2,56

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,52

Розкид X

μ = 2,75, Var(X) = 1,588, σ_X = 1,26

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,26 = 2,52

Відповідь

σ_Y = 2,52

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·2,75 + 4 = 9,5.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 26,95 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Відповідь

x = 26,95 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −6,233 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 11, t = 1,796

Похибка оцінки

E = 1,796·0,9/√12 = 0,4666

Інтервал

−6,7 ± 0,4666 → [−7,167, −6,233]

Відповідь

верхня межа = −6,233 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 78

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·9/2)² = 77,79

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 78

Відповідь

n = 78

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Статистика критерію

t = (74,25 − 75)/0,8333 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 204,2

Похибка оцінки

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Межа інтервалу

U = 202,1 + 2,056 = 204,2

Відповідь

U = 204,2

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9535

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 336/6 = 56

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 982

Коефіцієнт кореляції

r = 250/√(70·982) = 0,9535

Відповідь

r = 0,9535

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 19,45

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 85/5 = 17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Лінія регресії

b = 98/40 = 2,45

a = 17 − 2,45·6 = 2,3

ŷ = 2,3 + 2,45·x

Прогноз

ŷ = 2,3 + 2,45·7 = 19,45

Відповідь

ŷ = 19,45

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 68,44

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36

плацебо: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (56 − 84)²/84 + (64 − 36)²/36 + (98 − 70)²/70 + (2 − 30)²/30

χ² = 68,44

Відповідь

χ² = 68,44

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 7,815

Ступені вільності

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблиця

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²_crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology