Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Експерти перевіряють, чи охоплюють завдання іспиту з математики всі теми навчальної програми. Це оцінює:

AЕкологічну валідність
BПрогностичну валідність
CЗмістову валідність
DРетестову надійність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:

AМодератор
BМедіатор
CСторонню змінну
DКонтрольовану змінну

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 18, 24, 20, 45, 14, 53.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Знайдіть z-оцінку z для результату 470.

μ = 500σ = 60x = 470

z =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 6

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 462 і 562 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 562

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 78 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 78s = 690%t(20) = 1,725

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 9. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 9E = 295%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 502,9 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 5n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 2,590%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Змістову валідність

Чому це відповідь

Змістова валідність — це міра, в якій інструмент охоплює всі значущі аспекти конструкту; зазвичай її оцінюють експерти.

Відповідь

C · Змістову валідність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Медіатор

Чому це відповідь

Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.

Відповідь

B · Медіатор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,02

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 174/6 = 29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−5)² + (−9)² + 16² + (−15)² + 24² = 1284

Стандартне відхилення

s = √(1284/5) = 16,02

Відповідь

s = 16,02

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (470 − 500)/60 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,1818

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818

Відповідь

P = 0,1818

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,414

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Відповідь

σ_Y = 2,414

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·0,95 + 20 = 22,85.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7684

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Площа між

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

Відповідь

P = 0,7684

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 80,26

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Похибка оцінки

E = 1,725·6/√21 = 2,259

Інтервал

78 ± 2,259 → [75,74, 80,26]

Відповідь

верхня межа = 80,26

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 78

Виразіть n

n = (1,96·9/2)² = 77,79

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 78

Відповідь

n = 78

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерію

t = (502,9 − 500)/1 = 2,9

Відповідь

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 11

Виразіть n

n = (1,645·5/2,5)² = 10,82

Округліть угору

n = 11

Відповідь

n = 11

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9241

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 340/5 = 68

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 838

Коефіцієнт детермінації

r² = 176²/(40·838) = 0,9241

Відповідь

r² = 0,9241

Близько 92,41% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 81,65

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 392/5 = 78,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

Лінія регресії

b = 65/10 = 6,5

a = 78,4 − 6,5·5 = 45,9

ŷ = 45,9 + 6,5·x

Прогноз

ŷ = 45,9 + 6,5·5,5 = 81,65

Відповідь

ŷ = 81,65

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 12,6

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 120·72/180 = 48, 120·108/180 = 72

жінки: 60·72/180 = 24, 60·108/180 = 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (37 − 48)²/48 + (83 − 72)²/72 + (35 − 24)²/24 + (25 − 36)²/36

χ² = 12,6

Відповідь

χ² = 12,6

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,562

Очікувані частоти

лінія 1: 16, 24

лінія 2: 24, 36

лінія 3: 32, 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48

χ² = 1,562

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,562 < 9,210

Відповідь

χ² = 1,562

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology