Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Значення p = 0,03 означає:

AЯкби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків
BЗ огляду на спостережувані дані, нульова гіпотеза правдива лише з імовірністю 3%
CЕфект великий
DРезультат відтвориться в 97% випадків

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник хоче перевірити, чи новий метод навчання спричиняє кращі оцінки, але не може рандомізувати студентів. Який дизайн дає в цій ситуації найсильніші докази причинності?

AОпитування студентів, чи вважають вони, що метод спрацював
BКореляція оцінок із тим, наскільки студентам подобається викладач
CВимірювання лише класу з новим методом після навчання
DПорівняння підібраних класів, виміряних до і після, з групою порівняння

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 18, 44, 23, 26.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Яка частка P значень більша за 452?

μ = 500σ = 40x = 452

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 12p = 0,4k = 4

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8990. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8990

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 48 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 53 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 48 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 53 hσ₂ = 16 h90%

верхня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p = 0,5E = 0,02590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 130,9 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 130,9s = 15n = 16

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 1,590%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 33Σy = 440Σx² = 199Σy² = 32964Σxy = 2527

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 107?

n = 6ŷ = 107

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

Чому це відповідь

Значення p — ймовірність отримати результати, не менш екстремальні за спостережувані, якщо нульова гіпотеза правдива. Воно не показує ймовірності правдивості гіпотези чи розміру ефекту.

Відповідь

A · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Порівняння підібраних класів, виміряних до і після, з групою порівняння

Чому це відповідь

Дизайн із нееквівалентними групами та попереднім і підсумковим тестуванням контролює початкові відмінності й зміни з часом, хоча він слабший за рандомізований експеримент.

Відповідь

D · Порівняння підібраних класів, виміряних до і після, з групою порівняння

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,99

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 167/5 = 33,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 22,6² + (−15,4)² + 10,6² + (−10,4)² + (−7,4)² = 1023

Стандартне відхилення

s = √(1023/4) = 15,99

Відповідь

s = 15,99

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2128

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 4) = 495·0,4⁴·0,6⁸ = 495·0,0256·0,0168 = 0,2128

Відповідь

P = 0,2128

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,64

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8990)/2 = 0,9495

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9495 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,64

Відповідь

z = 1,64

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 166,5 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Відповідь

x = 166,49 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 0,733 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 48 − 53 = −5

Стандартна похибка

SE = √(17²/80 + 16²/30) = 3,485

Похибка оцінки

E = 1,645·3,485 = 5,733

Інтервал

−5 ± 5,733 → [−10,73, 0,733]

Відповідь

верхня межа = 0,733 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Округліть угору

n = 1083

Відповідь

n = 1083

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,907

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Статистика критерію

t = (130,9 − 120)/3,75 = 2,907

Відповідь

t = 2,907

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 20

Виразіть n

n = (1,645·4/1,5)² = 19,24

Округліть угору

n = 20

Відповідь

n = 20

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9686

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2527 − 33·440/6 = 107

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 32964 − 440²/6 = 697,3

Коефіцієнт кореляції

r = 107/√(17,5·697,3) = 0,9686

Відповідь

r = 0,9686

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 20,01

Середні

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 699/6 = 116,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 335

Лінія регресії

b = 335/70 = 4,786

a = 116,5 − 4,786·22 = 11,21

ŷ = 11,21 + 4,786·x

Розв’яжіть щодо x

x = (107 − 11,21)/4,786 = 20,01

Відповідь

x = 20,01

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,587

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 80·140/200 = 56, 80·60/200 = 24

плацебо: 120·140/200 = 84, 120·60/200 = 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (52 − 56)²/56 + (28 − 24)²/24 + (88 − 84)²/84 + (32 − 36)²/36

χ² = 1,587

Відповідь

χ² = 1,587

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,5

Очікувані частоти

вік 18–30: 24, 56

вік 31–50: 12, 28

вік 51+: 24, 56

Статистика хі-квадрат

χ² = (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (14 − 12)²/12 + (26 − 28)²/28 + (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56

χ² = 2,5

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,5 < 5,991

Відповідь

χ² = 2,5

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology