Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Щоб отримати вибірку з такими самими частками студентів першого, другого й третього курсів, як у популяції університету, дослідник має використати:

AДоступну вибірку
BВибірку добровольців
CВибірку «сніжної кулі»
DСтратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Міри розміру ефекту, як-от d Коена, повідомляють тому, що вони:

AПоказують, чи статистично значущий результат на обраному рівні альфа
BСкасовують потребу в будь-якій гіпотезі
CВказують, скільки учасників вибуло
DПоказують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 15, 22, 21, 43, 49, 54, 22.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень більша за 520?

μ = 500σ = 50x = 520

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€25: p = 0,3€50: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 77,5 і 118,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 77,5x₂ = 118,75

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 16 і стандартне відхилення s = 18. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 16s = 1899%t(7) = 3,499

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 45 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Група ділянок 2: 13 ділянок, середнє 43,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 45s₁ = 2,5n₂ = 13x̄₂ = 43,5s₂ = 2,590%t(20) = 1,725

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 198,5 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,5s = 4n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 198,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 198,6σ = 5n = 3695%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 122Σx² = 220Σy² = 3414Σxy = 864

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (20,5, 74). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(20,5, 74)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 4 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Стратифіковану вибірку

Чому це відповідь

Стратифікована вибірка визначає підгрупи (страти) й випадково обирає учасників із кожної пропорційно її розміру в популяції, що робить вибірку репрезентативнішою.

Відповідь

D · Стратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

Чому це відповідь

У великих вибірках навіть крихітні ефекти можуть бути значущими. Розмір ефекту виражає величину відмінності, напр. d = 0,2 малий, 0,5 середній, 0,8 великий.

Відповідь

D · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,83

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 226/7 = 32,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−17,29)² + (−10,29)² + (−11,29)² + 10,71² + 16,71² + 21,71² + (−10,29)² = 1503

Стандартне відхилення

s = √(1503/6) = 15,83

Відповідь

s = 15,83

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,79

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,4

Дисперсія

Var(X) = 4,4 − 1,9² = 0,79

Відповідь

Var(X) = 0,79

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 3,5 €

Чисті результати

G: 20 (p = 0,3), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,3 + 45·0,02 − 5·0,68 = 3,5 €

Відповідь

E(G) = 3,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8275

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−1,5) = 0,8944 − 0,06681 = 0,8275

Відповідь

P = 0,8275

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 253,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Відповідь

x = 253,37 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 22,27

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·18/√8 = 22,27

Відповідь

E = 22,27

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,87 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·2,5² + 12·2,5²)/20 = 6,25

s_p = 2,5

Похибка оцінки

E = 1,725·2,5·√(1/9 + 1/13) = 1,87

Відповідь

E = 1,87 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,25

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Статистика критерію

t = (198,5 − 200)/0,6667 = −2,25

Відповідь

t = −2,25

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 197

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√36 = 1,633

Межа інтервалу

L = 198,6 − 1,633 = 197

Відповідь

L = 197

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9982

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 864 − 30·122/5 = 132

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3414 − 122²/5 = 437,2

Коефіцієнт кореляції

r = 132/√(40·437,2) = 0,9982

Відповідь

r = 0,9982

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,238

Середні

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 506/6 = 84,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 660

Лінія регресії

b = 660/157,5 = 4,19

a = 84,33 − 4,19·23,5 = −14,14

ŷ = −14,14 + 4,19·x

Прогнозоване значення

ŷ = −14,14 + 4,19·20,5 = 71,76

Залишок

e = 74 − 71,76 = 2,238

Відповідь

e = 2,238

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,6

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 80·80/160 = 40, 80·40/160 = 20, 80·40/160 = 20

працівники: 80·80/160 = 40, 80·40/160 = 20, 80·40/160 = 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (36 − 40)²/40 + (17 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20 + (44 − 40)²/40 + (23 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20

χ² = 6,6

Відповідь

χ² = 6,6

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,21

Ступені вільності

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Відповідь

χ²_crit = 9,210

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology