Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартна похибка середнього зменшується, коли:

AОбсяг вибірки збільшується
BОбсяг вибірки зменшується
CЗмінну вимірюють на порядковому рівні
DСереднє збільшується

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У множинній регресії, що прогнозує бали за іспит за годинами навчання й сном, R² = 0,36. Що це означає?

A36% студентів склали іспит
BГодини навчання спричиняють 36% успіху на іспиті
CКореляція між предикторами дорівнює 0,36
DПредиктори разом пояснюють 36% дисперсії балів за іспит

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 56, 20, 41, 48.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 52,5?

μ = 60σ = 5x = 52,5

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 11 осіб? Порядок не має значення.

n = 11k = 4

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €6 з імовірністю 0,3 і €20 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€6: p = 0,3€20: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9736. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9736

z =

8.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 71,5 і стандартне відхилення s = 9,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 71,5s = 9,595%t(20) = 2,086

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 7. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 7E = 199%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 46,9 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,9s = 4n = 16

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 80%δ = 3σ = 9z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обсяг вибірки збільшується

Чому це відповідь

Стандартна похибка оцінює, наскільки середні вибірок коливаються навколо середнього популяції. Більші вибірки дають точніші оцінки.

Відповідь

A · Обсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Предиктори разом пояснюють 36% дисперсії балів за іспит

Чому це відповідь

R² показує, яку частину мінливості результату пояснюють усі предиктори разом. Він не встановлює причинності.

Відповідь

D · Предиктори разом пояснюють 36% дисперсії балів за іспит

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,57

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 201/5 = 40,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,2)² + 15,8² + (−20,2)² + 0,8² + 7,8² = 736,8

Стандартне відхилення

s = √(736,8/4) = 13,57

Відповідь

s = 13,57

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

5.Імовірність

Відповідь: N = 330

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Відповідь

N = 330

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,2 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,3), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,3 + 18·0,02 − 2·0,68 = 0,2 €

Відповідь

E(G) = 0,2 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,22

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9736)/2 = 0,9868

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9868 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,22

Відповідь

z = 2,22

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 566 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Відповідь

x = 566 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 67,18

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Похибка оцінки

E = 2,086·9,5/√21 = 4,324

Інтервал

71,5 ± 4,324 → [67,18, 75,82]

Відповідь

нижня межа = 67,18

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 326

Виразіть n

n = (2,576·7/1)² = 325,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 326

Відповідь

n = 326

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Статистика критерію

t = (46,9 − 50)/1 = −3,1

Відповідь

t = −3,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 56

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 0,842)·9/3)² = 55,67

Округліть угору

n = 56

Відповідь

n = 56

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9765

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 354/5 = 70,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 986,8

Коефіцієнт кореляції

r = 291/√(90·986,8) = 0,9765

Відповідь

r = 0,9765

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 80,9

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 343/5 = 68,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Лінія регресії

b = 164/40 = 4,1

a = 68,6 − 4,1·6 = 44

ŷ = 44 + 4,1·x

Прогноз

ŷ = 44 + 4,1·9 = 80,9

Відповідь

ŷ = 80,9

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,515

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 60·45/100 = 27, 60·55/100 = 33

жінки: 40·45/100 = 18, 40·55/100 = 22

Статистика хі-квадрат

χ² = (24 − 27)²/27 + (36 − 33)²/33 + (21 − 18)²/18 + (19 − 22)²/22

χ² = 1,515

Відповідь

χ² = 1,515

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology