Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Поперечне дослідження одночасно порівнює використання технологій 20-, 40- і 60-річними. Яка проблема може змішуватися з віковим порівнянням?

AКогортні ефекти
BЕфекти практики
CЕфекти підлоги
DЕфекти порядку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Метааналіз об'єднує 40 досліджень певної терапії. Чому його загальний розмір ефекту все ж може бути завеликим?

AМетааналізи завжди дають менші ефекти, ніж окремі дослідження, які вони включають
BОб'єднання досліджень завжди усуває будь-яке упередження
CМетааналізи не можуть охоплювати рандомізовані випробування
DЧерез публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 29, 27, 40, 52, 23, 55.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 30?

μ = 70σ = 20x = 30

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = −2X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7775. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7775

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 10 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −3,9 і стандартне відхилення 4,4. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 10d̄ = −3,9s_d = 4,495%t(9) = 2,262

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 4,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.

n = 10s = 4,9 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

10 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 6,91, стандартне відхилення різниць 7,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 6,91s_d = 7,8

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 25. Насправді середнє дорівнює 89,5. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 80μ = 89,5σ = 25n = 100α = 0,01

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 334Σx² = 364Σy² = 20536Σxy = 2704

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 9?

n = 5ŷ = 9

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 6 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 6

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Когортні ефекти

Чому це відповідь

Різні вікові групи виховувалися в різних історичних умовах, тож відмінності можуть відображати покоління (когорту), а не саме старіння.

Відповідь

A · Когортні ефекти

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Через публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами

Чому це відповідь

Якщо нульові результати публікують рідше, об'єднаний ефект завищено. Воронкові діаграми й пошук неопублікованих даних допомагають це виявити та зменшити.

Відповідь

D · Через публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,53

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 226/6 = 37,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,667)² + (−10,67)² + 2,333² + 14,33² + (−14,67)² + 17,33² = 915,3

Стандартне відхилення

s = √(915,3/5) = 13,53

Відповідь

s = 13,53

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,609

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Відповідь

σ_Y = 1,609

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·0,95 − 3 = −4,9.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,22

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7775)/2 = 0,8888

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8888 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,22

Відповідь

z = 1,22

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9875

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Відповідь

P = 0,9875

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −0,7526 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 9, t = 2,262

Похибка оцінки

E = 2,262·4,4/√10 = 3,147

Інтервал

−3,9 ± 3,147 → [−7,047, −0,7526]

Відповідь

верхня межа = −0,7526 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 3,37 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 9·4,9² = 216,1

Межі для σ²

216,1/19,023 = 11,36

216,1/2,7 = 80,03

Межа для σ

σ = √11,36 = 3,37 µm

Відповідь

σ = 3,37 µm

95 % інтервал для σ: [3,37, 8,946] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 7,8/√10 = 2,467

Статистика критерію

t = 6,91/2,467 = 2,801

Відповідь

t = 2,801

При df = 9 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,262; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 7,024 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 80 + 2,326·2,5 = 85,81

z при справжньому середньому

z = (85,81 − 89,5)/2,5 = −1,474

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −1,474) = 92,98%

β = 100% − 92,98% = 7,024%

Відповідь

β = 7,024%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9923

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2704 − 42·334/6 = 366

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 20536 − 334²/6 = 1943

Коефіцієнт кореляції

r = 366/√(70·1943) = 0,9923

Відповідь

r = 0,9923

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,852

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Лінія регресії

b = 122/40 = 3,05

a = 18,6 − 3,05·6 = 0,3

ŷ = 0,3 + 3,05·x

Розв’яжіть щодо x

x = (9 − 0,3)/3,05 = 2,852

Відповідь

x = 2,852

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,2187

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 40·36/120 = 12, 40·36/120 = 12, 40·48/120 = 16

працівники: 80·36/120 = 24, 80·36/120 = 24, 80·48/120 = 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (12 − 12)²/12 + (15 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (24 − 24)²/24 + (33 − 32)²/32

χ² = 0,2187

Відповідь

χ² = 0,2187

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 5

Ступені вільності

df = 6 − 1 = 5

Відповідь

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology