Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

AУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
BДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника
CУчасники могли самі обирати умови
DРезультати стали статистично значущими

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник виявляє, що продаж морозива й кількість смертей через утоплення позитивно корелюють. Яке пояснення найправдоподібніше?

AКореляція, напевно, — помилка обчислень
BМорозиво спричиняє утоплення
CУтоплення збільшують продаж морозива
DСпекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 44, 38, 24, 60, 28, 57.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 26.

μ = 50σ = 12x = 26

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1Y = 5X + 20

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1210. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1210

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,9. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 100 спостережень?

90%n₁ = 25E₁ = 2,9n₂ = 100

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 97 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 102 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 97s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 102s₂ = 399%t(10) = 3,169

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 41,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 43,2 mm, відоме стандартне відхилення 11 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 41,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 43,2 mmσ₂ = 11 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 77,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 77,7σ = 15n = 10090%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 71?

n = 6ŷ = 71

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 4 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

4 × 4

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

A · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

Чому це відповідь

Третя змінна, температура, спричиняє обидва явища. Це ілюструє, чому сама лише кореляція не може довести причинності.

Відповідь

D · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,82

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 301/7 = 43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 7² + 1² + (−5)² + (−19)² + 17² + (−15)² + 14² = 1146

Стандартне відхилення

s = √(1146/6) = 13,82

Відповідь

s = 13,82

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (26 − 50)/12 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 96

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,1 + 20·0,3 + 30·0,3 + 40·0,3 = 28

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,3 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 880

Дисперсія

Var(X) = 880 − 28² = 96

Відповідь

Var(X) = 96

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,548

Розкид X

μ = 2,35, Var(X) = 0,8275, σ_X = 0,9097

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·0,9097 = 4,548

Відповідь

σ_Y = 4,548

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·2,35 + 20 = 31,75.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,17

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1210 = 0,8790

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8790 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,17

Відповідь

z = 1,17

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 259,8 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Відповідь

x = 259,8 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,45

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/100) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 2,9·0,5 = 1,45

Відповідь

E₂ = 1,45

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,867 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·8,5² + 6·3²)/10 = 34,3

s_p = 5,857

Похибка оцінки

E = 3,169·5,857·√(1/5 + 1/7) = 10,87

Інтервал

−5 ± 10,87 → [−15,87, 5,867]

Відповідь

верхня межа = 5,867 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(8²/50 + 11²/100) = √2,49 = 1,578

Статистика критерію

z = (41,5 − 43,2)/1,578 = −1,077

Відповідь

z = −1,077

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 80,17

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·15/√100 = 2,468

Межа інтервалу

U = 77,7 + 2,468 = 80,17

Відповідь

U = 80,17

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9496

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 470/6 = 78,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1213

Коефіцієнт детермінації

r² = 284²/(70·1213) = 0,9496

Відповідь

r² = 0,9496

Близько 94,96% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 10,02

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 342/6 = 57

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Лінія регресії

b = 244/70 = 3,486

a = 57 − 3,486·6 = 36,09

ŷ = 36,09 + 3,486·x

Розв’яжіть щодо x

x = (71 − 36,09)/3,486 = 10,02

Відповідь

x = 10,02

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 9,844

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 80·56/140 = 32, 80·84/140 = 48

плацебо: 60·56/140 = 24, 60·84/140 = 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (23 − 32)²/32 + (57 − 48)²/48 + (33 − 24)²/24 + (27 − 36)²/36

χ² = 9,844

Відповідь

χ² = 9,844

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 9

Ступені вільності

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

Відповідь

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology