Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Надійність розщеплення навпіл передбачає:

  1. AПорівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
  2. BПоділ вибірки на експериментальну й контрольну групи та порівняння їхніх балів
  3. CТестування двох половин вибірки в різний час
  4. DВикористання двох спостерігачів, кожен — на половині сесій
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявило, що студенти, які більше сплять, мають вищі оцінки. Яка зміна дизайну найкраще дозволила б зробити причинний висновок?

  1. AОпитати більше студентів
  2. BПопросити студентів двічі повідомити про сон і усереднити два звіти
  3. CВипадково розподілити студентів за різними режимами сну
  4. DТочніше вимірювати оцінки
3.Описова статистикаСередня
202530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 60, 53, 20, 32.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 100?

μ = 60σ = 20x = 100
P =
5.ІмовірністьСередня
червоні: 7сині: 9

У мішечку 7 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 9
P =
6.ІмовірністьСкладна
xp(x)10,3520,330,240,15μ

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 0,5X + 4
σY =
7.Нормальний розподілСередня
250259P = ?

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 250 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 259
P =
8.Нормальний розподілСкладна
235240245250255260265gниз 40%

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 13, s = 10L = ?Ux̄ = 98E90%

Вибірка з 13 елементів має середнє 98 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 98s = 1090%t(12) = 1,782
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 29E = 399%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,13102,131

Вибірка з 16 студентів має середній бал 47,75 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,75s = 5n = 16
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 75.6. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 80μ = 75,6σ = 16n = 64α = 0,01
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy23476118121015xy51051015

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 48Σx² = 220Σy² = 548Σxy = 346
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2474496588671072xy510506070ŷ = 62

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 62?

n = 5ŷ = 62
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
такніРазомчоловіки5446100жінки6753120Разом12199220

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
такніРазомлінія 1314980лінія 2303060лінія 3194160Разом80120200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

Чому це відповідь

Якщо обидві половини вимірюють той самий конструкт, бали за ними мають сильно корелювати. Альфа Кронбаха поширює цю ідею на всі можливі поділи.

Відповідь

A · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

Чому це відповідь

Лише маніпуляція сном із випадковим розподілом контролює треті змінні й дозволяє причинний висновок у межах етики.

Відповідь

C · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну
3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 212/5 = 42,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4,6² + 17,6² + 10,6² + (−22,4)² + (−10,4)² = 1053

Стандартне відхилення

s = √(1053/4) = 16,23

Відповідь

s = 16,23
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,175

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Відповідь

P = 0,175
6.Імовірність

Відповідь: σY = 0,5309

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,15, Var(X) = 1,128, σX = 1,062

Лінійна зміна

σY = |0,5|·1,062 = 0,5309

Відповідь

σY = 0,5309

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,15 + 4 = 5,075.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4641

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Відповідь

P = 0,4641
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 248,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Відповідь

x = 248,8 g
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 93,06

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Похибка оцінки

E = 1,782·10/√13 = 4,942

Інтервал

98 ± 4,942 → [93,06, 102,9]

Відповідь

нижня межа = 93,06
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 621

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·29/3)² = 620,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 621

Відповідь

n = 621
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Статистика критерію

t = (47,75 − 50)/1,25 = −1,8

Відповідь

t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 44,99 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 16/√64 = 2
x̄c = 80 − 2,326·2 = 75,35

z при справжньому середньому

z = (75,35 − 75,6)/2 = −0,126

Потужність

потужність = P(Z < −0.126) = 44.99%
1 − β = 44,99%

Відповідь

1 − β = 44,99%
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9821

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 346 − 30·48/5 = 58
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 548 − 48²/5 = 87,2

Коефіцієнт кореляції

r = 58/√(40·87,2) = 0,9821

Відповідь

r = 0,9821
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 7

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 293/5 = 58,6

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Лінія регресії

b = 136/40 = 3,4
a = 58,6 − 3,4·6 = 38,2
ŷ = 38,2 + 3,4·x

Розв’яжіть щодо x

x = (62 − 38,2)/3,4 = 7

Відповідь

x = 7
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,07407

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45
жінки: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54

Статистика хі-квадрат

χ² = (54 − 55)²/55 + (46 − 45)²/45 + (67 − 66)²/66 + (53 − 54)²/54
χ² = 0,07407

Відповідь

χ² = 0,07407

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,288

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

лінія 1: 32, 48
лінія 2: 24, 36
лінія 3: 24, 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36
χ² = 4,288

Рішення

df = 2, χ²crit = 5,991
4,288 < 5,991

Відповідь

χ² = 4,288

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology