Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Екологічна валідність означає:

AНаскільки тест узгоджений у часі
BЧи передбачає тест майбутню поведінку
CЧи виглядає тест так, ніби вимірює потрібне
DНаскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
BПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе
CОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
DОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 57, 22, 31, 39, 17.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 110.

μ = 70σ = 20x = 110

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 1312 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1312 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 13 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 8 і стандартне відхилення 4,9. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 13d̄ = 8s_d = 4,999%t(12) = 3,055

E = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,3 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,3E = 0,0595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 116,4 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,4s = 20n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 10. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 4σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

Чому це відповідь

Екологічна валідність стосується того, чи застосовні результати до повсякденних ситуацій. Суворо контрольовані лабораторні дослідження часто мають її низькою.

Відповідь

D · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

C · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,75

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 166/5 = 33,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 23,8² + (−11,2)² + (−2,2)² + 5,8² + (−16,2)² = 992,8

Стандартне відхилення

s = √(992,8/4) = 15,75

Відповідь

s = 15,75

4.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (110 − 70)/20 = 2

Відповідь

z = 2

5.Імовірність

Відповідь: N = 252

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Відповідь

N = 252

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,005859

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Додайте

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Відповідь

P = 0,005859

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Стандартизуйте

z = (1312 − 1360)/48 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 578,4 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Відповідь

x = 578,4 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,152 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 12, t = 3,055

Похибка оцінки

E = 3,055·4,9/√13 = 4,152

Відповідь

E = 4,152 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 323

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,3·0,7/0,05² = 322,7

Округліть угору

n = 323

Відповідь

n = 323

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерію

t = (116,4 − 120)/4 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·10/4)² = 67,65

Округліть угору

n = 68

Відповідь

n = 68

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9901

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 279/5 = 55,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 528,8

Коефіцієнт кореляції

r = 144/√(40·528,8) = 0,9901

Відповідь

r = 0,9901

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 58,2

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 363/5 = 72,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Лінія регресії

b = 192/40 = 4,8

a = 72,6 − 4,8·7 = 39

ŷ = 39 + 4,8·x

Прогноз

ŷ = 39 + 4,8·4 = 58,2

Відповідь

ŷ = 58,2

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,94

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14

сільські: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (6 − 8)²/8 + (14 − 18)²/18 + (20 − 14)²/14 + (18 − 16)²/16 + (40 − 36)²/36 + (22 − 28)²/28

χ² = 5,94

Відповідь

χ² = 5,94

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 28,13

Очікувані частоти

вік 18–30: 24, 16

вік 31–50: 48, 32

вік 51+: 48, 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (60 − 48)²/48 + (20 − 32)²/32 + (30 − 48)²/48 + (50 − 32)²/32

χ² = 28,13

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

28,13 > 5,991

Відповідь

χ² = 28,13

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology