Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Щоб отримати вибірку з такими самими частками студентів першого, другого й третього курсів, як у популяції університету, дослідник має використати:

  1. AСтратифіковану вибірку
  2. BДоступну вибірку
  3. CВибірку «сніжної кулі»
  4. DВибірку добровольців
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

  1. AЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
  2. BЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
  3. CЩоб контрбалансувати порядок умов
  4. DЯк основну залежну змінну дослідження
3.Описова статистикаСередня
1520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 13, 52, 19, 16, 14, 18.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 192,5?

μ = 170σ = 15x = 192,5
P =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)00,1510,3520,330,1540,05μ = 1,6

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,15, 0,05
σ =
6.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,320,3540,1560,2μ

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2Y = 0,5X − 3
σY =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа між −z і z = 0,9051

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9051. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9051
z =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 65x = ?5%

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 30, s = 10L = ?Ux̄ = 90E95%

Вибірка з 30 елементів має середнє 90 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 90s = 1095%t(29) = 2,045
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 18. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 18E = 2,595%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,13102,131

Вибірка з 16 студентів має середній бал 125,1 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 125,1s = 12n = 16
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 9, потужність 95%, n = ?

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 95%δ = 4σ = 9zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy124222320415514xy24152025

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy12421831641459xy2410152025ŷ = 14

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 14?

n = 5ŷ = 14
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна32172372нічна зміна3036975Разом625332147

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, без дефекту».

сума рядка = 75сума стовпця = 62N = 147
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Стратифіковану вибірку

Чому це відповідь

Стратифікована вибірка визначає підгрупи (страти) й випадково обирає учасників із кожної пропорційно її розміру в популяції, що робить вибірку репрезентативнішою.

Відповідь

A · Стратифіковану вибірку
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,87

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 132/6 = 22

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−9)² + 30² + (−3)² + (−6)² + (−8)² + (−4)² = 1106

Стандартне відхилення

s = √(1106/5) = 14,87

Відповідь

s = 14,87
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681
5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,068

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,05 = 1,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,05 = 3,7

Дисперсія

Var(X) = 3,7 − 1,6² = 1,14
σ = √1,14 = 1,068

Відповідь

σ = 1,068
6.Імовірність

Відповідь: σY = 1,09

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,5, Var(X) = 4,75, σX = 2,179

Лінійна зміна

σY = |0,5|·2,179 = 1,09

Відповідь

σY = 1,09

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,5 − 3 = −1,75.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,67

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9525 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,67

Відповідь

z = 1,67
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,55 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 балів

Відповідь

x = 48,55 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 86,27

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Похибка оцінки

E = 2,045·10/√30 = 3,734

Інтервал

90 ± 3,734 → [86,27, 93,73]

Відповідь

нижня межа = 86,27
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 200

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·18/2,5)² = 199,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 200

Відповідь

n = 200
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Статистика критерію

t = (125,1 − 120)/3 = 1,7

Відповідь

t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 80

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,645)·9/4)² = 79,83

Округліть угору

n = 80

Відповідь

n = 80
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9592

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 76

Коефіцієнт детермінації

r² = −27²/(10·76) = 0,9592

Відповідь

r² = 0,9592

Близько 95,92% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,647

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 81/5 = 16,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Лінія регресії

b = −34/10 = −3,4
a = 16,2 − (−3,4)·3 = 26,4
ŷ = 26,4 − 3,4·x

Розв’яжіть щодо x

x = (14 − 26,4)/(−3,4) = 3,647

Відповідь

x = 3,647
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 31,63

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 75·62/147 = 31,63

Відповідь

E = 31,63
16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 7,815

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Таблиця

χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology