Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Студент набирає 130 балів за тестом із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яке значення z?

A1,5
B0,5
C2,0
D3,0

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник хоче показати, що нова шкала тривожності вимірює щось відмінне від депресії. Низькі кореляції зі шкалою депресії підтвердили б:

AОчевидну (face) валідність
BДискримінантну валідність
CКонвергентну валідність
DПрогностичну валідність

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 15, 35, 57, 49, 17.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 94?

μ = 70σ = 12x = 94

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 10

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9011. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9011

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 11 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 7,1 і стандартне відхилення 7,8. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 11d̄ = 7,1s_d = 7,895%t(10) = 2,228

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 24E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

9 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −7,48, стандартне відхилення різниць 6,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 9d̄ = −7,48s_d = 6,6

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 98,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 98,4σ = 5n = 6495%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 802 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · 2,0

Чому це відповідь

(130 − 100) / 15 = 2. Бал на два стандартні відхилення вищий за середнє — вищий, ніж приблизно в 97–98% людей.

Відповідь

C · 2,0

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Дискримінантну валідність

Чому це відповідь

Дискримінантну (дивергентну) валідність показано, коли інструмент слабко корелює з інструментами для інших конструктів. Конвергентна валідність — це висока кореляція з інструментами для того самого конструкту.

Відповідь

B · Дискримінантну валідність

3.Описова статистика

Відповідь: s = 18,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 190/6 = 31,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,67)² + (−16,67)² + 3,333² + 25,33² + 17,33² + (−14,67)² = 1661

Стандартне відхилення

s = √(1661/5) = 18,23

Відповідь

s = 18,23

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,6475

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Відповідь

Var(X) = 0,6475

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,673

Розкид X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·0,8367 = 1,673

Відповідь

σ_Y = 1,673

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1 + 10 = 8.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,65

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9011)/2 = 0,9505

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9505 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,65

Відповідь

z = 1,65

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 466,3 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Відповідь

x = 466,34 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 12,34 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 10, t = 2,228

Похибка оцінки

E = 2,228·7,8/√11 = 5,24

Інтервал

7,1 ± 5,24 → [1,86, 12,34]

Відповідь

верхня межа = 12,34 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 8852

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·24/0,5)² = 8851

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 8852

Відповідь

n = 8852

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 6,6/√9 = 2,2

Статистика критерію

t = −7,48/2,2 = −3,4

Відповідь

t = −3,4

При df = 8 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,306; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 97,18

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√64 = 1,225

Межа інтервалу

L = 98,4 − 1,225 = 97,18

Відповідь

L = 97,18

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9523

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 139/6 = 23,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54,83

Коефіцієнт кореляції

r = −29,5/√(17,5·54,83) = −0,9523

Відповідь

r = −0,9523

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 17,05

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Лінія регресії

b = −33/10 = −3,3

a = 22 − (−3,3)·3 = 31,9

ŷ = 31,9 − 3,3·x

Прогноз

ŷ = 31,9 + (−3,3)·4,5 = 17,05

Відповідь

ŷ = 17,05

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,067

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

нічна зміна: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (8 − 8)²/8 + (10 − 12)²/12 + (22 − 20)²/20 + (8 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (18 − 20)²/20

χ² = 1,067

Відповідь

χ² = 1,067

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,861

Очікувані частоти

вік 18–30: 24, 36

вік 31–50: 40, 60

вік 51+: 16, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (25 − 24)²/24 + (35 − 36)²/36 + (33 − 40)²/40 + (67 − 60)²/60 + (22 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24

χ² = 5,861

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,861 < 9,210

Відповідь

χ² = 5,861

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology