Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник порівнює агресивність дітей до і після появи телебачення у віддаленому містечку. Дослідник не контролював появи телебачення. Це:

AЛабораторний експеримент
BПриродний експеримент
CПольовий експеримент
DКореляційне опитування щодо перегляду телебачення

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Двоє спостерігачів фіксують агресивні дії на ігровому майданчику, і їхні підрахунки корелюють на рівні r = 0,45. Що має зробити дослідник?

AУточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість
BПрийняти дані, бо будь-якої позитивної кореляції достатньо
CПерейти до односторонньої гіпотези
DВикористовувати лише більший із двох підрахунків

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 40, 36, 13, 15, 43, 39.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 182,5.

μ = 170σ = 10x = 182,5

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.

n = 7k = 3

N =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,2, 0,1Y = 2X + 5

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 114,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 27 і стандартне відхилення s = 3. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 27s = 399%t(5) = 4,032

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 16. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 16E = 390%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

15 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,66, стандартне відхилення різниць 10,9. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = 3,66s_d = 10,9

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 3σ = 8z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 96Σx² = 364Σy² = 1744Σxy = 792

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 13?

n = 6ŷ = 13

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, велосипед».

сума рядка = 76сума стовпця = 40N = 186

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 8 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Природний експеримент

Чому це відповідь

У природному експерименті НЗ змінюється через події поза контролем дослідника. Екологічна валідність висока, але випадковий розподіл неможливий.

Відповідь

B · Природний експеримент

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

Чому це відповідь

Низька надійність між спостерігачами означає, що категорії застосовують непослідовно. Чіткіші операційні визначення й тренувальні сесії мають підвищити узгодженість до основного збирання даних.

Відповідь

A · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,16

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 236/7 = 33,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 16,29² + 6,286² + 2,286² + (−20,71)² + (−18,71)² + 9,286² + 5,286² = 1203

Стандартне відхилення

s = √(1203/6) = 14,16

Відповідь

s = 14,16

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (182,5 − 170)/10 = 1,25

Відповідь

z = 1,25

5.Імовірність

Відповідь: N = 35

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Відповідь

N = 35

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,691

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,7, Var(X) = 1,81, σ_X = 1,345

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,345 = 2,691

Відповідь

σ_Y = 2,691

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·1,7 + 5 = 8,4.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 31,94

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Похибка оцінки

E = 4,032·3/√6 = 4,938

Інтервал

27 ± 4,938 → [22,06, 31,94]

Відповідь

верхня межа = 31,94

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 77

Виразіть n

n = (1,645·16/3)² = 76,97

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 77

Відповідь

n = 77

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 10,9/√15 = 2,814

Статистика критерію

t = 3,66/2,814 = 1,3

Відповідь

t = 1,3

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 61

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·8/3)² = 60,92

Округліть угору

n = 61

Відповідь

n = 61

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9945

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 792 − 42·96/6 = 120

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1744 − 96²/6 = 208

Коефіцієнт кореляції

r = 120/√(70·208) = 0,9945

Відповідь

r = 0,9945

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,012

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 101/6 = 16,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 135

Лінія регресії

b = 135/70 = 1,929

a = 16,83 − 1,929·7 = 3,333

ŷ = 3,333 + 1,929·x

Розв’яжіть щодо x

x = (13 − 3,333)/1,929 = 5,012

Відповідь

x = 5,012

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 16,34

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 76·40/186 = 16,34

Відповідь

E = 16,34

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Ступені вільності

df = 8 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology