Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У досконало нормальному розподілі:

AБільшість балів лежить у хвостах
BСереднє завжди більше за медіану
CСереднє, медіана й мода рівні
DМода — найнижчий бал

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження з 10 учасниками виявляє великий, але незначущий ефект. Який висновок найдоречніший?

AЕфект мусить бути помилкою I роду
BРозмір ефекту, напевно, обчислено неправильно
CДослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий
DДослідження доводить, що нульова гіпотеза правдива, бо ефект не був значущим

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 54, 40, 17, 37.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 150?

μ = 170σ = 10x = 150

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 8p = 0,2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,25 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 259

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 1,6 і стандартне відхилення 2,2. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = 1,6s_d = 2,299%t(14) = 2,977

нижня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 19E = 599%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 104 mm, відоме стандартне відхилення лінії 3 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 108,1 mm, відоме стандартне відхилення 12 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 104 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 40x̄₂ = 108,1 mmσ₂ = 12 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 2σ = 9z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 20.

n = 5x = 20

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, середній».

сума рядка = 118сума стовпця = 67N = 190

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Середнє, медіана й мода рівні

Чому це відповідь

Нормальний розподіл симетричний і дзвоноподібний, тож усі три міри центральної тенденції розташовані в центрі.

Відповідь

C · Середнє, медіана й мода рівні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Дослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий

Чому це відповідь

За малих вибірок навіть справжні ефекти часто не досягають значущості (помилка II роду). Дослідники мають повідомити розмір ефекту й довірчий інтервал і відтворити дослідження на більшій вибірці.

Відповідь

C · Дослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,95

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 165/5 = 33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 21² + 7² + (−16)² + 4² = 1018

Стандартне відхилення

s = √(1018/4) = 15,95

Відповідь

s = 15,95

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,5033

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8⁸ = 0,1678

P(X = 1) = 8·0,2·0,8⁷ = 0,3355

Додайте

P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033

Відповідь

P = 0,5033

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9035

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−1,55) = 0,9641 − 0,06057 = 0,9035

Відповідь

P = 0,9035

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8133

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Відповідь

P = 0,8133

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −0,09105 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·2,2/√15 = 1,691

Інтервал

1,6 ± 1,691 → [−0,09105, 3,291]

Відповідь

нижня межа = −0,09105 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 96

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·19/5)² = 95,82

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 96

Відповідь

n = 96

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,076

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(3²/30 + 12²/40) = √3,9 = 1,975

Статистика критерію

z = (104 − 108,1)/1,975 = −2,076

Відповідь

z = −2,076

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 204

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·9/2)² = 203,2

Округліть угору

n = 204

Відповідь

n = 204

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9956

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 352/6 = 58,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1367

Коефіцієнт кореляції

r = 308/√(70·1367) = 0,9956

Відповідь

r = 0,9956

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 92,25

Середні

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 437/5 = 87,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

Лінія регресії

b = 194/40 = 4,85

a = 87,4 − 4,85·19 = −4,75

ŷ = −4,75 + 4,85·x

Прогноз

ŷ = −4,75 + 4,85·20 = 92,25

Відповідь

ŷ = 92,25

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 41,61

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 118·67/190 = 41,61

Відповідь

E = 41,61

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,64

Очікувані частоти

лінія 1: 40, 40

лінія 2: 20, 20

лінія 3: 50, 50

Статистика хі-квадрат

χ² = (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40 + (22 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20 + (44 − 50)²/50 + (56 − 50)²/50

χ² = 2,64

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,64 < 5,991

Відповідь

χ² = 2,64

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology