Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник вивчає вплив статі на бали за тестом пам'яті. Чому це квазіексперимент, а не справжній експеримент?

  1. AЗЗ не вимірюють
  2. BДослідження відбувається в лабораторії
  3. CЄ лише дві умови, а справжній експеримент потребує щонайменше трьох рівнів НЗ
  4. DНЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження з 10 учасниками виявляє великий, але незначущий ефект. Який висновок найдоречніший?

  1. AДослідження доводить, що нульова гіпотеза правдива, бо ефект не був значущим
  2. BЕфект мусить бути помилкою I роду
  3. CДослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий
  4. DРозмір ефекту, напевно, обчислено неправильно
3.Описова статистикаСередня
101520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 33, 54, 54, 49, 29, 10.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 77,5?

μ = 70σ = 5x = 77,5
P =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)10,220,1530,3540,0550,25μ = 3

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,05, 0,25
σ =
6.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,4: P(X = 5) = ?k01234567

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 7p = 0,4k = 5
P =
7.Нормальний розподілСередня
164,35186,4P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 164,35 і 186,4 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 186,4
P =
8.Нормальний розподілСкладна
0,03 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 13, s = 5,5LU = ?x̄ = 51E95%

Вибірка з 13 елементів має середнє 51 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 51s = 5,595%t(12) = 2,179
верхня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 20E = 495%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
1,94p = ?

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 24. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 503,88. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 24n = 144x̄ = 503,88H₁: μ > μ₀
p =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 96,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 96,7σ = 10n = 3695%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy3395497509521157xy5104050

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy178119812192231032511227131xy202580100120x = 18

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 18.

n = 6x = 18
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
низькийсереднійвисокийРазомміські26102157сільські15174476Разом412765133

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, середній».

сума рядка = 57сума стовпця = 27N = 133
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 7 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею

Чому це відповідь

У квазіексперименті НЗ — природна відмінність між людьми. Без випадкового розподілу інші відмінності між групами можуть змішуватися з результатами.

Відповідь

D · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Дослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий

Чому це відповідь

За малих вибірок навіть справжні ефекти часто не досягають значущості (помилка II роду). Дослідники мають повідомити розмір ефекту й довірчий інтервал і відтворити дослідження на більшій вибірці.

Відповідь

C · Дослідженню, можливо, бракувало потужності, тож результат непереконливий
3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,45

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 229/6 = 38,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,167)² + 15,83² + 15,83² + 10,83² + (−9,167)² + (−28,17)² = 1523

Стандартне відхилення

s = √(1523/5) = 17,45

Відповідь

s = 17,45
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332
5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,414

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,05 + 5·0,25 = 3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,05 + 25·0,25 = 11

Дисперсія

Var(X) = 11 − 3² = 2
σ = √2 = 1,414

Відповідь

σ = 1,414
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,07741

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 21·0,45·0,62 = 21·0,01024·0,36 = 0,07741

Відповідь

P = 0,07741
7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8593

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593

Відповідь

P = 0,8593
8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9207

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Відповідь

P = 0,9207
9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 54,32

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Похибка оцінки

E = 2,179·5,5/√13 = 3,324

Інтервал

51 ± 3,324 → [47,68, 54,32]

Відповідь

верхня межа = 54,32
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 97

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·20/4)² = 96,04

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 97

Відповідь

n = 97
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,02619

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (503,88 − 500)/2 = 1,94

Площа хвоста

Φ(1,94) = 0,9738
1 − Φ(1,94) = 0,0262

p-значення

p = 0,02619

Відповідь

p = 0,02619

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 99,97

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·10/√36 = 3,267

Межа інтервалу

U = 96,7 + 3,267 = 99,97

Відповідь

U = 99,97
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9371

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 247/5 = 49,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
Syy = Σ(y − ȳ)² = 173,2

Коефіцієнт кореляції

r = 78/√(40·173,2) = 0,9371

Відповідь

r = 0,9371
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 79,77

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 600/6 = 100

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354

Лінія регресії

b = 354/70 = 5,057
a = 100 − 5,057·22 = −11,26
ŷ = −11,26 + 5,057·x

Прогноз

ŷ = −11,26 + 5,057·18 = 79,77

Відповідь

ŷ = 79,77
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 11,57

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 57·27/133 = 11,57

Відповідь

E = 11,57
16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 16,81

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 7 − 1 = 6

Таблиця

χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Відповідь

χ²crit = 16,812

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology