Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник вивчає вплив статі на бали за тестом пам'яті. Чому це квазіексперимент, а не справжній експеримент?

  1. AЄ лише дві умови, а справжній експеримент потребує щонайменше трьох рівнів НЗ
  2. BДослідження відбувається в лабораторії
  3. CНЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
  4. DЗЗ не вимірюють
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Яка головна мета випадкового розподілу за умовами в експерименті?

  1. AГарантувати, що учасники не знають мети
  2. BЗробити вибірку репрезентативною для цільової популяції, щоб результати можна було узагальнити
  3. CРівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів
  4. DПідвищити рівень відгуку
3.Описова статистикаСередня
354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 58, 60, 33, 39, 45, 57.

n = 7
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Знайдіть z-оцінку z для результату 525.

μ = 500σ = 25x = 525
z =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)00,2510,3520,0530,35μ = 1,5

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,35
σ =
6.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,5: P(X = 3) = ?k01234567

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 7p = 0,5k = 3
P =
7.Нормальний розподілСередня
178,35186,4P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 178,35 і 186,4 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 186,4
P =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 65x = ?10%

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 10%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 7, s = 17LUx̄ = 58E = ?99%

Вибірка з 7 елементів має середнє 58 і стандартне відхилення s = 17. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 58s = 1799%t(6) = 3,707
E =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 33, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 33E = 190%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−2,1452,145t = ?df = 14

15 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 7,81, стандартне відхилення різниць 11,2. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.

n = 15d̄ = 7,81sd = 11,2
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 1,590%
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy14401648184620542273xy15204060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy294176248341039xy51010203040x = 5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
такніРазомчоловіки293160жінки491160Разом7842120

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 7
df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею

Чому це відповідь

У квазіексперименті НЗ — природна відмінність між людьми. Без випадкового розподілу інші відмінності між групами можуть змішуватися з результатами.

Відповідь

C · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів

Чому це відповідь

Випадковий розподіл урівноважує індивідуальні відмінності між умовами й підтримує причинні висновки. Випадкова вибірка стосується узагальнення на популяцію.

Відповідь

C · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів
3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,33

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 339/7 = 48,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,429)² + 9,571² + 11,57² + (−15,43)² + (−9,429)² + (−3,429)² + 8,571² = 639,7

Стандартне відхилення

s = √(639,7/6) = 10,33

Відповідь

s = 10,33
4.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (525 − 500)/25 = 1

Відповідь

z = 1
5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,204

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,35 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,35 = 3,7

Дисперсія

Var(X) = 3,7 − 1,5² = 1,45
σ = √1,45 = 1,204

Відповідь

σ = 1,204
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2734

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 35·0,53·0,54 = 35·0,125·0,0625 = 0,2734

Відповідь

P = 0,2734
7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,365

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(0,05) = 0,8849 − 0,5199 = 0,365

Відповідь

P = 0,365
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 52,18 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 балів

Відповідь

x = 52,18 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 23,82

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Похибка оцінки

E = 3,707·17/√7 = 23,82

Відповідь

E = 23,82
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2947

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·33/1)² = 2947

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2947

Відповідь

n = 2947
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,701

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 11,2/√15 = 2,892

Статистика критерію

t = 7,81/2,892 = 2,701

Відповідь

t = 2,701

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 121

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Округліть угору

n = 121

Відповідь

n = 121
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,8994

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 261/5 = 52,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 640,8

Коефіцієнт кореляції

r = 144/√(40·640,8) = 0,8994

Відповідь

r = 0,8994
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 20,75

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 123/5 = 24,6

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Лінія регресії

b = 154/40 = 3,85
a = 24,6 − 3,85·6 = 1,5
ŷ = 1,5 + 3,85·x

Прогноз

ŷ = 1,5 + 3,85·5 = 20,75

Відповідь

ŷ = 20,75
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,65

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21
жінки: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

Статистика хі-квадрат

χ² = (29 − 39)²/39 + (31 − 21)²/21 + (49 − 39)²/39 + (11 − 21)²/21
χ² = 14,65

Відповідь

χ² = 14,65

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 5

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Відповідь

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology