Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідженню, проведеному лише з американськими студентами бакалаврату, може бракувати:

AВнутрішньої узгодженості
BНадійності між оцінювачами
CЗмістової валідності
DПопуляційної валідності

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Міри розміру ефекту, як-от d Коена, повідомляють тому, що вони:

AВказують, скільки учасників вибуло
BПоказують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки
CПоказують, чи статистично значущий результат на обраному рівні альфа
DСкасовують потребу в будь-якій гіпотезі

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 45, 17, 28, 54, 50, 58.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 85?

μ = 70σ = 15x = 85

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 9

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25Y = 0,5X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 27,2 і 33,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 33,2

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 100 h, відоме стандартне відхилення 18 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 113,5 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 100 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 113,5 hσ₂ = 13 h99%

верхня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 30E = 1,599%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 143,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 138,8 mm, відоме стандартне відхилення 15 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 143,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 80x̄₂ = 138,8 mmσ₂ = 15 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 125 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 28 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 28n₂ = 80

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 76Σx² = 55Σy² = 1234Σxy = 200

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2, 36). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(2, 36)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 4 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 4

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Популяційної валідності

Чому це відповідь

Популяційна валідність — вид зовнішньої валідності. Вибірки переважно з молодих, західних і освічених людей можуть не репрезентувати інших.

Відповідь

D · Популяційної валідності

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

Чому це відповідь

У великих вибірках навіть крихітні ефекти можуть бути значущими. Розмір ефекту виражає величину відмінності, напр. d = 0,2 малий, 0,5 середній, 0,8 великий.

Відповідь

B · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистика

Відповідь: s = 18,79

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 263/7 = 37,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−26,57)² + 7,429² + (−20,57)² + (−9,571)² + 16,43² + 12,43² + 20,43² = 2118

Стандартне відхилення

s = √(2118/6) = 18,79

Відповідь

s = 18,79

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,2059

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Відповідь

P = 0,2059

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,162

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 3, Var(X) = 5,4, σ_X = 2,324

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·2,324 = 1,162

Відповідь

σ_Y = 1,162

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·3 − 3 = −1,5.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3674

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674

Відповідь

P = 0,3674

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 255,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Відповідь

x = 255,2 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −5,827 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 100 − 113,5 = −13,5

Стандартна похибка

SE = √(18²/100 + 13²/30) = 2,979

Похибка оцінки

E = 2,576·2,979 = 7,673

Інтервал

−13,5 ± 7,673 → [−21,17, −5,827]

Відповідь

верхня межа = −5,827 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2655

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·30/1,5)² = 2654

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2655

Відповідь

n = 2655

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,801

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/100 + 15²/80) = √6,813 = 2,61

Статистика критерію

z = (143,5 − 138,8)/2,61 = 1,801

Відповідь

z = 1,801

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,342

Вибіркові частки

p̂₁ = 125/250 = 0,5

p̂₂ = 28/80 = 0,35

p̂ = 153/330 = 0,4636

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4636·0,5364·(1/250 + 1/80)) = 0,06406

Статистика критерію

z = (0,5 − 0,35)/0,06406 = 2,342

Відповідь

z = 2,342

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9975

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 200 − 15·76/5 = −28

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1234 − 76²/5 = 78,8

Коефіцієнт кореляції

r = −28/√(10·78,8) = −0,9975

Відповідь

r = −0,9975

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,962

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 338/6 = 56,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 304

Лінія регресії

b = 304/70 = 4,343

a = 56,33 − 4,343·6 = 30,28

ŷ = 30,28 + 4,343·x

Прогнозоване значення

ŷ = 30,28 + 4,343·2 = 38,96

Залишок

e = 36 − 38,96 = −2,962

Відповідь

e = −2,962

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,774

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 100·66/220 = 30, 100·66/220 = 30, 100·88/220 = 40

сільські: 120·66/220 = 36, 120·66/220 = 36, 120·88/220 = 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (26 − 30)²/30 + (27 − 30)²/30 + (47 − 40)²/40 + (40 − 36)²/36 + (39 − 36)²/36 + (41 − 48)²/48

χ² = 3,774

Відповідь

χ² = 3,774

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 2

Ступені вільності

df = 4 − 1 − 1 = 2

Відповідь

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology