Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
Упередженість експериментатора найбезпосередніше зменшує:
- AВикористання більшої вибірки
- BЗалучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов
- CЗалучення лише добровольців
- DВикористання односторонньої гіпотези
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
«Криза відтворюваності» в психології означає:
- AБрак учасників для експериментів
- BТе, що журнали за законом зобов'язані відхиляти всі подані дослідження-реплікації
- CЩо багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях
- DКопіювання опитувальників без дозволу
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 12, 58, 19, 20, 42, 54, 56.
n = 7
s =
4.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 163,6.
μ = 170σ = 8x = 163,6
z =
5.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 5
P =
6.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = −2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = −2X + 4
σY =
7.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9729. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9729
z =
8.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 83,5 і стандартне відхилення s = 11. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 83,5s = 1199%t(14) = 2,977
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 26E = 0,599%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 135 mm, відоме стандартне відхилення лінії 15 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 140,5 mm, відоме стандартне відхилення 14 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
n₁ = 100x̄₁ = 135 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 100x̄₂ = 140,5 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 97.3. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 100μ = 97,3σ = 5n = 25α = 0,01
β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6, 29). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(6, 29)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, незначний».
сума рядка = 67сума стовпця = 47N = 125
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.
N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: B · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов
Чому це відповідь
Експериментатори, які знають гіпотезу, можуть ненавмисно впливати на учасників чи записи. Одинарні чи подвійні сліпі процедури та стандартизовані інструкції це зменшують.
Відповідь
B · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях
Чому це відповідь
Великі проєкти реплікацій виявили, що багато ефектів менші або відсутні, що пов'язано з упередженістю публікацій, малими вибірками та гнучким аналізом. Однією з відповідей є попередня реєстрація.
Відповідь
C · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях
3.Описова статистика
Відповідь: s = 19,81
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 261/7 = 37,29
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−25,29)² + 20,71² + (−18,29)² + (−17,29)² + 4,714² + 16,71² + 18,71² = 2353
Стандартне відхилення
s = √(2353/6) = 19,81
Відповідь
s = 19,81
4.Описова статистика
Відповідь: z = −0,8
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (163,6 − 170)/8 = −0,8
Відповідь
z = −0,8
5.Імовірність
Відповідь: P = 0,5981
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Відповідь
P = 0,5981
6.Імовірність
Відповідь: σY = 18,84
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 27,5, Var(X) = 88,75, σX = 9,421
Лінійна зміна
σY = |−2|·9,421 = 18,84
Відповідь
σY = 18,84
Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·27,5 + 4 = −51.
7.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 2,21
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9864 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 2,21
Відповідь
z = 2,21
8.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9099
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Відповідь
P = 0,9099
9.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 75,04
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Похибка оцінки
E = 2,977·11/√15 = 8,455
Інтервал
83,5 ± 8,455 → [75,04, 91,96]
Відповідь
нижня межа = 75,04
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 17944
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·26/0,5)² = 17943
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 17944
Відповідь
n = 17944
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(15²/100 + 14²/100) = √4,21 = 2,052
Статистика критерію
z = (135 − 140,5)/2,052 = −2,681
Відповідь
z = −2,681
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 35,42 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 100 − 2,326·1 = 97,67
z при справжньому середньому
z = (97,67 − 97,3)/1 = 0,374
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.374) = 64.58%
β = 100% − 64,58% = 35,42%
Відповідь
β = 35,42%
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9428
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115,2
Коефіцієнт кореляції
r = −32/√(10·115,2) = −0,9428
Відповідь
r = −0,9428
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,25
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 152/5 = 30,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Лінія регресії
b = 74/40 = 1,85
a = 30,4 − 1,85·5 = 21,15
ŷ = 21,15 + 1,85·x
Прогнозоване значення
ŷ = 21,15 + 1,85·6 = 32,25
Залишок
e = 29 − 32,25 = −3,25
Відповідь
e = −3,25
Точка лежить нижче прямої.
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: E = 25,19
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувана частота
E = 67·47/125 = 25,19
Відповідь
E = 25,19
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 2,651
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
вік 18–30: 70, 30
вік 31–50: 42, 18
вік 51+: 56, 24
Статистика хі-квадрат
χ² = (73 − 70)²/70 + (27 − 30)²/30 + (37 − 42)²/42 + (23 − 18)²/18 + (58 − 56)²/56 + (22 − 24)²/24
χ² = 2,651
Рішення
df = 2, χ²crit = 5,991
2,651 < 5,991
Відповідь
χ² = 2,651
χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology