Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартна похибка середнього зменшується, коли:

AОбсяг вибірки збільшується
BЗмінну вимірюють на порядковому рівні
CСереднє збільшується
DОбсяг вибірки зменшується

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження пам'яті використовує дизайн повторних вимірювань, у якому всі вивчають спершу список A, а потім список B. Пригадування краще для списку B. Яка вада найімовірніша?

AЗавеликий обсяг вибірки
BЕфекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано
CІндивідуальні відмінності між групами
DВикористання порядкового рівня вимірювання

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 24, 28, 23, 38, 36, 41.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 122,5.

μ = 100σ = 15x = 122,5

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 3

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€25: p = 0,3€50: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них перевищує 99,4 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 8> 99,4 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 60% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів60%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 8,2 і стандартне відхилення 7,1. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = 8,2s_d = 7,199%t(15) = 2,947

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 9. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 9E = 199%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 51,92 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,92s = 8n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 25. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 3σ = 25z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 44). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 44)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, без дефекту».

сума рядка = 96сума стовпця = 48N = 158

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обсяг вибірки збільшується

Чому це відповідь

Стандартна похибка оцінює, наскільки середні вибірок коливаються навколо середнього популяції. Більші вибірки дають точніші оцінки.

Відповідь

A · Обсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано

Чому це відповідь

Коли всі учасники проходять умови в однаковому порядку, покращення може відображати практику, а не список. Контрбалансування (ABBA або половина AB, половина BA) це контролює.

Відповідь

B · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 7,659

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 190/6 = 31,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7,667)² + (−3,667)² + (−8,667)² + 6,333² + 4,333² + 9,333² = 293,3

Стандартне відхилення

s = √(293,3/5) = 7,659

Відповідь

s = 7,659

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

5.Імовірність

Відповідь: N = 220

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Відповідь

N = 220

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 20 (p = 0,3), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,3 + 45·0,05 − 5·0,65 = 5 €

Відповідь

E(G) = 5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 96 kg, σ_T = 0,8·√8 = 2,263 kg

Стандартизуйте

z = (99,4 − 96)/2,263 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 67,5 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 балів

Відповідь

x = 67,5 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 13,43 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,947

Похибка оцінки

E = 2,947·7,1/√16 = 5,231

Інтервал

8,2 ± 5,231 → [2,969, 13,43]

Відповідь

верхня межа = 13,43 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 538

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·9/1)² = 537,5

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 538

Відповідь

n = 538

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерію

t = (51,92 − 50)/1,6 = 1,2

Відповідь

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 697

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·25/3)² = 697

Округліть угору

n = 697

Відповідь

n = 697

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9891

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 86/5 = 17,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 294,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 108²/(40·294,8) = 0,9891

Відповідь

r² = 0,9891

Близько 98,91% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,45

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 227/5 = 45,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Лінія регресії

b = 41/10 = 4,1

a = 45,4 − 4,1·3 = 33,1

ŷ = 33,1 + 4,1·x

Прогнозоване значення

ŷ = 33,1 + 4,1·3,5 = 47,45

Залишок

e = 44 − 47,45 = −3,45

Відповідь

e = −3,45

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 29,16

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 96·48/158 = 29,16

Відповідь

E = 29,16

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 12,59

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Таблиця

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Відповідь

χ²_crit = 12,592

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology