Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Публікаційне упередження означає:

  1. AЩо дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими
  2. BЩо дослідники публікують те саме дослідження двічі
  3. CЩо рецензенти віддають перевагу роботам авторів із відомих університетів порівняно з менш відомими
  4. DЩо журнали публікують лише якісні дослідження
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник вимірює вплив шуму на концентрацію. Учасників в умові шуму випадково тестували вранці, а в умові тиші — вдень. У чому проблема?

  1. AДані номінального рівня
  2. BЧас доби — залежна змінна
  3. CДослідження має забагато умов
  4. DЧас доби — змішувальна змінна
3.Описова статистикаСередня
202530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 27, 16, 17, 30, 34, 60.

n = 7
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 35.

μ = 50σ = 10x = 35
z =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)00,310,320,2530,15μ = 1,25

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15
σ =
6.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,1: P(X = 1) = ?k01234567

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 7p = 0,1k = 1
P =
7.Нормальний розподілСередня
164,35183,6P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 164,35 і 183,6 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 183,6
P =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 500x = ?97,5%

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 21, s = 7L = ?Ux̄ = 114E90%

Вибірка з 21 елементів має середнє 114 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 114s = 790%t(20) = 1,725
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,599%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 24E = 2,599%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 117 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117s = 8n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 500,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 500,7σ = 5n = 3695%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy124224321421517xy2420

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 107Σx² = 55Σy² = 2323Σxy = 304
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy16471848205222712479xy2050607080ŷ = 46

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 46?

n = 5ŷ = 46
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
такніРазомчоловіки384280жінки5268120Разом90110200

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 11 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

Чому це відповідь

Коли незначущі дослідження залишаються в шухлядах, опублікована література переоцінює розміри ефектів, що спотворює метааналізи.

Відповідь

A · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Час доби — змішувальна змінна

Чому це відповідь

Оскільки шум і час тестування змінюються разом, будь-яка відмінність може бути зумовлена будь-яким із них. Випадковий розподіл часу тестування чи фіксація часу усунули б змішування.

Відповідь

D · Час доби — змішувальна змінна
3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,75

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 210/7 = 30

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−3)² + (−14)² + (−13)² + 0² + 4² + 30² = 1306

Стандартне відхилення

s = √(1306/6) = 14,75

Відповідь

s = 14,75
4.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (35 − 50)/10 = −1,5

Відповідь

z = −1,5
5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,043

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,15 = 1,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,15 = 2,65

Дисперсія

Var(X) = 2,65 − 1,25² = 1,087
σ = √1,087 = 1,043

Відповідь

σ = 1,043
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,372

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 7·0,11·0,96 = 7·0,1·0,5314 = 0,372

Відповідь

P = 0,372
7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7626

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Площа між

P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626

Відповідь

P = 0,7626
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 578,4 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Відповідь

x = 578,4 h
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 111,4

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Похибка оцінки

E = 1,725·7/√21 = 2,635

Інтервал

114 ± 2,635 → [111,4, 116,6]

Відповідь

нижня межа = 111,4
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 612

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·24/2,5)² = 611,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 612

Відповідь

n = 612
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,625

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерію

t = (117 − 120)/1,143 = −2,625

Відповідь

t = −2,625
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 502,3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√36 = 1,633

Межа інтервалу

U = 500,7 + 1,633 = 502,3

Відповідь

U = 502,3
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,933

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 304 − 15·107/5 = −17
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2323 − 107²/5 = 33,2

Коефіцієнт кореляції

r = −17/√(10·33,2) = −0,933

Відповідь

r = −0,933
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 16,92

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 297/5 = 59,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Лінія регресії

b = 174/40 = 4,35
a = 59,4 − 4,35·20 = −27,6
ŷ = −27,6 + 4,35·x

Розв’яжіть щодо x

x = (46 − (−27,6))/4,35 = 16,92

Відповідь

x = 16,92
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,3367

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 80·90/200 = 36, 80·110/200 = 44
жінки: 120·90/200 = 54, 120·110/200 = 66

Статистика хі-квадрат

χ² = (38 − 36)²/36 + (42 − 44)²/44 + (52 − 54)²/54 + (68 − 66)²/66
χ² = 0,3367

Відповідь

χ² = 0,3367

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 18,31

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Таблиця

χ²crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Відповідь

χ²crit = 18,307

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology