Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Значення p = 0,03 означає:

AЗ огляду на спостережувані дані, нульова гіпотеза правдива лише з імовірністю 3%
BЯкби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків
CЕфект великий
DРезультат відтвориться в 97% випадків

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Інтерпретаційний феноменологічний аналіз (IPA) переважно має на меті:

AПідраховувати частоту слів у текстах
BПеревіряти причинні гіпотези на великих вибірках
CДослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід
DТочно вимірювати час реакції

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 11, 26, 12, 40.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 48.

μ = 60σ = 15x = 48

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,1 і €200 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,1€200: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,5 і 192 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 192

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 60% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 51,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 47,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 51,5 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 47,5 hσ₂ = 14 h95%

нижня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 36E = 2,590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 47,35. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ ≠ 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 12,5n = 25x̄ = 47,35H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 103. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 100μ = 103σ = 10n = 25α = 0,10

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 23.

n = 6x = 23

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

Чому це відповідь

Значення p — ймовірність отримати результати, не менш екстремальні за спостережувані, якщо нульова гіпотеза правдива. Воно не показує ймовірності правдивості гіпотези чи розміру ефекту.

Відповідь

B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

Чому це відповідь

IPA поглиблено вивчає невеликі однорідні вибірки, з'ясовуючи, як учасники тлумачать значущий досвід, а дослідник інтерпретує їхнє осмислення.

Відповідь

C · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,12

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 117/5 = 23,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4,6² + (−12,4)² + 2,6² + (−11,4)² + 16,6² = 587,2

Стандартне відхилення

s = √(587,2/4) = 12,12

Відповідь

s = 12,12

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (48 − 60)/15 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,6475

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Відповідь

Var(X) = 0,6475

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 2 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,1), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,85)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,1 + 190·0,05 − 10·0,85 = 2 €

Відповідь

E(G) = 2 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6687

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−0,5) = 0,9772 − 0,3085 = 0,6687

Відповідь

P = 0,6687

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 179,8 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Відповідь

x = 179,8 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 0,8625 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 51,5 − 47,5 = 4

Стандартна похибка

SE = √(3²/80 + 14²/80) = 1,601

Похибка оцінки

E = 1,96·1,601 = 3,138

Інтервал

4 ± 3,138 → [0,8625, 7,138]

Відповідь

нижня межа = 0,8625 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 562

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·36/2,5)² = 561,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 562

Відповідь

n = 562

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2891

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (47,35 − 50)/2,5 = −1,06

Площа хвоста

Φ(1,06) = 0,8554

1 − Φ(1,06) = 0,1446

p-значення

p = 2·0,1446 = 0,2891

Відповідь

p = 0,2891

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 41,37 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 100 + 1,282·2 = 102,6

z при справжньому середньому

z = (102,6 − 103)/2 = −0,218

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,218) = 58,63%

β = 100% − 58,63% = 41,37%

Відповідь

β = 41,37%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,8247

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 143/6 = 23,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 38,83

Коефіцієнт кореляції

r = −21,5/√(17,5·38,83) = −0,8247

Відповідь

r = −0,8247

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 108,7

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 652/6 = 108,7

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 398

Лінія регресії

b = 398/70 = 5,686

a = 108,7 − 5,686·23 = −22,1

ŷ = −22,1 + 5,686·x

Прогноз

ŷ = −22,1 + 5,686·23 = 108,7

Відповідь

ŷ = 108,7

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,95

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 60·90/180 = 30, 60·45/180 = 15, 60·45/180 = 15

працівники: 120·90/180 = 60, 120·45/180 = 30, 120·45/180 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (23 − 30)²/30 + (13 − 15)²/15 + (24 − 15)²/15 + (67 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (21 − 30)²/30

χ² = 10,95

Відповідь

χ² = 10,95

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,89

Очікувані частоти

вік 18–30: 30, 10

вік 31–50: 45, 15

вік 51+: 75, 25

Статистика хі-квадрат

χ² = (35 − 30)²/30 + (5 − 10)²/10 + (50 − 45)²/45 + (10 − 15)²/15 + (65 − 75)²/75 + (35 − 25)²/25

χ² = 10,89

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

10,89 > 9,210

Відповідь

χ² = 10,89

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology