Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:
- AФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники
- BВипадковий вибір учасників
- CФіксацію кожного випадку певної поведінки
- DФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Дослідник використовує опитувальник, інтерв'ю та спостереження, щоб вивчати стрес на роботі, і результати узгоджуються. Як називають цей підхід?
- AРеплікацією
- BКонтрбалансуванням
- CТріангуляцією
- DСтратифікацією
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 23, 60, 37, 29.
n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 147,5.
μ = 170σ = 15x = 147,5
z =
5.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3
Var(X) =
6.ІмовірністьСкладна
Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 9p = 0,2k = 2
P =
7.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9495. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9495
z =
8.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 8 елементів має середнє 108 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 8x̄ = 108s = 5,595%t(7) = 2,365
верхня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 30E = 599%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 498,5 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,5s = 15n = 81
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 101,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 101,9σ = 12n = 8199%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (8, 74). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(8, 74)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки
Чому це відповідь
Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.
Відповідь
C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Тріангуляцією
Чому це відповідь
Тріангуляція використовує кілька методів, джерел чи дослідників. Їхня узгодженість підвищує впевненість у валідності результатів.
Відповідь
C · Тріангуляцією
3.Описова статистика
Відповідь: s = 15,61
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 171/5 = 34,2
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−12,2)² + (−11,2)² + 25,8² + 2,8² + (−5,2)² = 974,8
Стандартне відхилення
s = √(974,8/4) = 15,61
Відповідь
s = 15,61
4.Описова статистика
Відповідь: z = −1,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (147,5 − 170)/15 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
5.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,21
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,7
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,5
Дисперсія
Var(X) = 8,5 − 2,7² = 1,21
Відповідь
Var(X) = 1,21
6.Імовірність
Відповідь: P = 0,302
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 36·0,22·0,87 = 36·0,04·0,2097 = 0,302
Відповідь
P = 0,302
7.Нормальний розподіл
Відповідь: z = −1,64
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,9495 = 0,0505
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,0505 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −1,64
Відповідь
z = −1,64
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 473 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,25
z з таблиці
z ≈ −0,67
Назад до початкових одиниць
x = 500 − 0,67·40 = 473 h
Відповідь
x = 473 h
9.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 112,6
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Похибка оцінки
E = 2,365·5,5/√8 = 4,599
Інтервал
108 ± 4,599 → [103,4, 112,6]
Відповідь
верхня межа = 112,6
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 239
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·30/5)² = 238,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 239
Відповідь
n = 239
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667
Статистика критерію
t = (498,5 − 500)/1,667 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 105,3
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·12/√81 = 3,435
Межа інтервалу
U = 101,9 + 3,435 = 105,3
Відповідь
U = 105,3
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9605
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 483/6 = 80,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 247,5
Коефіцієнт детермінації
r² = 64,5²/(17,5·247,5) = 0,9605
Відповідь
r² = 0,9605
Близько 96,05% варіації y пояснюється прямою.
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,15
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 356/5 = 71,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Лінія регресії
b = 198/40 = 4,95
a = 71,2 − 4,95·7 = 36,55
ŷ = 36,55 + 4,95·x
Прогнозоване значення
ŷ = 36,55 + 4,95·8 = 76,15
Залишок
e = 74 − 76,15 = −2,15
Відповідь
e = −2,15
Точка лежить нижче прямої.
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 1,071
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
чоловіки: 60·126/180 = 42, 60·54/180 = 18
жінки: 120·126/180 = 84, 120·54/180 = 36
Статистика хі-квадрат
χ² = (39 − 42)²/42 + (21 − 18)²/18 + (87 − 84)²/84 + (33 − 36)²/36
χ² = 1,071
Відповідь
χ² = 1,071
df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ²crit = 7,815
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Ступені вільності
df = 5 − 1 − 1 = 3
Таблиця
χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815
Відповідь
χ²crit = 7,815
Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology