Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест порівнює дві незалежні групи, коли дані порядкові або явно не нормальні?

AU-тест Манна–Вітні
BТест хі-квадрат
CТест знакових рангів Вілкоксона
Dt-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник виявляє, що продаж морозива й кількість смертей через утоплення позитивно корелюють. Яке пояснення найправдоподібніше?

AУтоплення збільшують продаж морозива
BСпекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання
CКореляція, напевно, — помилка обчислень
DМорозиво спричиняє утоплення

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 12, 40, 19, 53, 49.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 150?

μ = 170σ = 10x = 150

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,15, 0,15

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 6p = 0,3k = 1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них менша за 61,8 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5< 61.8 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 30% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 86 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 86s = 2,599%t(8) = 3,355

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 31. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 31E = 490%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 102,1 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,1s = 5n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 98,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 98,7σ = 5n = 10099%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 25.

n = 6x = 25

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 7

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · U-тест Манна–Вітні

Чому це відповідь

U-тест Манна–Вітні порівнює ранги між двома непов'язаними групами. Тест знакових рангів Вілкоксона призначений для пов'язаних вибірок.

Відповідь

A · U-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

Чому це відповідь

Третя змінна, температура, спричиняє обидва явища. Це ілюструє, чому сама лише кореляція не може довести причинності.

Відповідь

B · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

3.Описова статистика

Відповідь: s = 18,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 173/5 = 34,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−22,6)² + 5,4² + (−15,6)² + 18,4² + 14,4² = 1329

Стандартне відхилення

s = √(1329/4) = 18,23

Відповідь

s = 18,23

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,393

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,15 + 5·0,15 = 2,6

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,15 + 25·0,15 = 8,7

Дисперсія

Var(X) = 8,7 − 2,6² = 1,94

σ = √1,94 = 1,393

Відповідь

σ = 1,393

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,3025

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 6·0,3¹·0,7⁵ = 6·0,3·0,1681 = 0,3025

Відповідь

P = 0,3025

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8438

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 60 kg, σ_T = 0,8·√5 = 1,789 kg

Стандартизуйте

z = (61,8 − 60)/1,789 = 1,01

Імовірність

P = Φ(1,01) = 0,8438

Відповідь

P = 0,8438

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 181,6 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,7

z з таблиці

z ≈ 0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Відповідь

x = 181,6 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 83,2

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Похибка оцінки

E = 3,355·2,5/√9 = 2,796

Інтервал

86 ± 2,796 → [83,2, 88,8]

Відповідь

нижня межа = 83,2

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 163

Виразіть n

n = (1,645·31/4)² = 162,5

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 163

Відповідь

n = 163

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерію

t = (102,1 − 100)/1 = 2,1

Відповідь

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 99,99

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Межа інтервалу

U = 98,7 + 1,288 = 99,99

Відповідь

U = 99,99

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9584

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 359/5 = 71,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 628,8

Коефіцієнт кореляції

r = 152/√(40·628,8) = 0,9584

Відповідь

r = 0,9584

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 117,3

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 613/6 = 102,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 265

Лінія регресії

b = 265/70 = 3,786

a = 102,2 − 3,786·21 = 22,67

ŷ = 22,67 + 3,786·x

Прогноз

ŷ = 22,67 + 3,786·25 = 117,3

Відповідь

ŷ = 117,3

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,7333

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

сільські: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (21 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (11 − 10)²/10 + (59 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30

χ² = 0,7333

Відповідь

χ² = 0,7333

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 5

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Відповідь

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology