Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Студент набирає 130 балів за тестом із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яке значення z?

A0,5
B1,5
C2,0
D3,0

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Шкала самозвіту виявляє, що люди, які погоджуються з багатьма твердженнями, набирають високі бали незалежно від змісту. Що це за упередження відповідей і як його зменшити?

AСхильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням
BУпередження соціальної бажаності; використати більшу вибірку
CВимоги ситуації; використати подвійний сліпий дизайн
DЕфекти порядку; контрбалансувати учасників

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 24, 53, 20, 21.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 475?

μ = 500σ = 50x = 475

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,1 і €50 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€15: p = 0,1€50: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 32,3 і 36,8 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 36,8

P =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів30%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 70,5 і стандартне відхилення s = 13. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 70,5s = 1395%t(24) = 2,064

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,2 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,2E = 0,02599%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 116,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 3 mm. Лінія 2: вибірка з 30 деталей має середнє 118,2 mm, відоме стандартне відхилення 3 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 116,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 118,2 mmσ₂ = 3 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 195%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (8, 57). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(8, 57)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · 2,0

Чому це відповідь

(130 − 100) / 15 = 2. Бал на два стандартні відхилення вищий за середнє — вищий, ніж приблизно в 97–98% людей.

Відповідь

C · 2,0

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

Чому це відповідь

Схильність до згоди — тенденція погоджуватися з пунктами. Якщо поєднувати позитивно й негативно сформульовані пункти, згода з усім уже не дає екстремального бала.

Відповідь

A · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,96

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 170/5 = 34

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18² + (−10)² + 19² + (−14)² + (−13)² = 1150

Стандартне відхилення

s = √(1150/4) = 16,96

Відповідь

s = 16,96

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4667

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Відповідь

P = 0,4667

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −3 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 10 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −3 €

Відповідь

E(G) = −3 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2682

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Площа між

P = Φ(0,8) − Φ(0,05) = 0,7881 − 0,5199 = 0,2682

Відповідь

P = 0,2682

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 92,2 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 балів

Відповідь

x = 92,2 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 75,87

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Похибка оцінки

E = 2,064·13/√25 = 5,366

Інтервал

70,5 ± 5,366 → [65,13, 75,87]

Відповідь

верхня межа = 75,87

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1699

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,2·0,8/0,025² = 1699

Округліть угору

n = 1699

Відповідь

n = 1699

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,195

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(3²/30 + 3²/30) = √0,6 = 0,7746

Статистика критерію

z = (116,5 − 118,2)/0,7746 = −2,195

Відповідь

z = −2,195

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 865

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·15/1)² = 864,4

Округліть угору

n = 865

Відповідь

n = 865

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9521

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 85/5 = 17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 284

Коефіцієнт детермінації

r² = 104²/(40·284) = 0,9521

Відповідь

r² = 0,9521

Близько 95,21% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,05

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 264/5 = 52,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Лінія регресії

b = 110/40 = 2,75

a = 52,8 − 2,75·5 = 39,05

ŷ = 39,05 + 2,75·x

Прогнозоване значення

ŷ = 39,05 + 2,75·8 = 61,05

Залишок

e = 57 − 61,05 = −4,05

Відповідь

e = −4,05

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,1

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

нічна зміна: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

Статистика хі-квадрат

χ² = (38 − 40)²/40 + (16 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20 + (14 − 10)²/10 + (4 − 10)²/10

χ² = 8,1

Відповідь

χ² = 8,1

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,844

Очікувані частоти

завод A: 45, 15

завод B: 45, 15

завод C: 60, 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (49 − 45)²/45 + (11 − 15)²/15 + (41 − 45)²/45 + (19 − 15)²/15 + (60 − 60)²/60 + (20 − 20)²/20

χ² = 2,844

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,844 < 9,210

Відповідь

χ² = 2,844

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology