Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

AУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
BРезультати стали статистично значущими
CУчасники могли самі обирати умови
DДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
BОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
CОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі
DПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 38, 43, 46, 13, 32, 27, 10.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 90.

μ = 100σ = 20x = 90

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,2 і €500 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,2€500: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 35,1 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11,2. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?

99%n₁ = 50E₁ = 11,2n₂ = 200

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 33 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 34 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 33s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 34s₂ = 8,590%t(15) = 1,753

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 54,15. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ ≠ 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 12,5n = 25x̄ = 54,15H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 208,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 208,5σ = 20n = 1699%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 93Σx² = 91Σy² = 1621Σxy = 271

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?

n = 6ŷ = 21

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 7

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

A · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,09

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 209/7 = 29,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8,143² + 13,14² + 16,14² + (−16,86)² + 2,143² + (−2,857)² + (−19,86)² = 1191

Стандартне відхилення

s = √(1191/6) = 14,09

Відповідь

s = 14,09

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (90 − 100)/20 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 4,24

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,1 = 2,4

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,1 = 10

Дисперсія

Var(X) = 10 − 2,4² = 4,24

Відповідь

Var(X) = 4,24

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 19 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,2), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,2 + 490·0,05 − 10·0,75 = 19 €

Відповідь

E(G) = 19 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1075

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Відповідь

P = 0,1075

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 189,5 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Відповідь

x = 189,51 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 5,6

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/200) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 11,2·0,5 = 5,6

Відповідь

E₂ = 5,6

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,947 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·10² + 7·8,5²)/15 = 87,05

s_p = 9,33

Похибка оцінки

E = 1,753·9,33·√(1/9 + 1/8) = 7,947

Відповідь

E = 7,947 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,09691

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (54,15 − 50)/2,5 = 1,66

Площа хвоста

Φ(1,66) = 0,9515

1 − Φ(1,66) = 0,0485

p-значення

p = 2·0,0485 = 0,09691

Відповідь

p = 0,09691

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 221,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·20/√16 = 12,88

Межа інтервалу

U = 208,5 + 12,88 = 221,4

Відповідь

U = 221,4

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9724

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 271 − 21·93/6 = −54,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1621 − 93²/6 = 179,5

Коефіцієнт кореляції

r = −54,5/√(17,5·179,5) = −0,9724

Відповідь

r = −0,9724

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,424

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 105/6 = 17,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

Лінія регресії

b = −29,5/17,5 = −1,686

a = 17,5 − (−1,686)·3,5 = 23,4

ŷ = 23,4 − 1,686·x

Розв’яжіть щодо x

x = (21 − 23,4)/(−1,686) = 1,424

Відповідь

x = 1,424

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,48

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

працівники: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (25 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (23 − 32)²/32 + (23 − 24)²/24 + (16 − 24)²/24 + (41 − 32)²/32

χ² = 10,48

Відповідь

χ² = 10,48

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 5

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Відповідь

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology