Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест порівнює дві незалежні групи, коли дані порядкові або явно не нормальні?

AU-тест Манна–Вітні
BТест знакових рангів Вілкоксона
CТест хі-квадрат
Dt-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Двоє спостерігачів фіксують агресивні дії на ігровому майданчику, і їхні підрахунки корелюють на рівні r = 0,45. Що має зробити дослідник?

AУточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість
BПрийняти дані, бо будь-якої позитивної кореляції достатньо
CВикористовувати лише більший із двох підрахунків
DПерейти до односторонньої гіпотези

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 59, 36, 33, 31.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 95.

μ = 70σ = 20x = 95

z =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1Y = 0,5X + 10

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0853. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0853

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 35,5 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 35,5s = 2090%t(8) = 1,86

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 36E = 1,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 71,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,5s = 20n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 20E = 2,590%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 12.

n = 6x = 12

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · U-тест Манна–Вітні

Чому це відповідь

U-тест Манна–Вітні порівнює ранги між двома непов'язаними групами. Тест знакових рангів Вілкоксона призначений для пов'язаних вибірок.

Відповідь

A · U-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

Чому це відповідь

Низька надійність між спостерігачами означає, що категорії застосовують непослідовно. Чіткіші операційні визначення й тренувальні сесії мають підвищити узгодженість до основного збирання даних.

Відповідь

A · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,45

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 194/5 = 38,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,8)² + 20,2² + (−2,8)² + (−5,8)² + (−7,8)² = 524,8

Стандартне відхилення

s = √(524,8/4) = 11,45

Відповідь

s = 11,45

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (95 − 70)/20 = 1,25

Відповідь

z = 1,25

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,5148

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,2, Var(X) = 1,06, σ_X = 1,03

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·1,03 = 0,5148

Відповідь

σ_Y = 0,5148

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,2 + 10 = 10,6.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,37

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0853 = 0,9147

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9147 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,37

Відповідь

z = 1,37

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 23,1

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Похибка оцінки

E = 1,86·20/√9 = 12,4

Інтервал

35,5 ± 12,4 → [23,1, 47,9]

Відповідь

нижня межа = 23,1

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2213

Виразіть n

n = (1,96·36/1,5)² = 2213

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2213

Відповідь

n = 2213

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Статистика критерію

t = (71,5 − 75)/2,5 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 174

Виразіть n

n = (1,645·20/2,5)² = 173,2

Округліть угору

n = 174

Відповідь

n = 174

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,7995

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 127/5 = 25,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 35,2

Коефіцієнт кореляції

r = −15/√(10·35,2) = −0,7995

Відповідь

r = −0,7995

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 105

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 508/6 = 84,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 356

Лінія регресії

b = 356/70 = 5,086

a = 84,67 − 5,086·8 = 43,98

ŷ = 43,98 + 5,086·x

Прогноз

ŷ = 43,98 + 5,086·12 = 105

Відповідь

ŷ = 105

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 7,433

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 60·24/120 = 12, 60·36/120 = 18, 60·60/120 = 30

працівники: 60·24/120 = 12, 60·36/120 = 18, 60·60/120 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (11 − 12)²/12 + (12 − 18)²/18 + (37 − 30)²/30 + (13 − 12)²/12 + (24 − 18)²/18 + (23 − 30)²/30

χ² = 7,433

Відповідь

χ² = 7,433

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 71,67

Очікувані частоти

завод A: 80, 20

завод B: 80, 20

завод C: 48, 12

Статистика хі-квадрат

χ² = (84 − 80)²/80 + (16 − 20)²/20 + (98 − 80)²/80 + (2 − 20)²/20 + (26 − 48)²/48 + (34 − 12)²/12

χ² = 71,67

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

71,67 > 5,991

Відповідь

χ² = 71,67

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology