Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дизайні з повторними вимірюваннями ефекти порядку можна контролювати за допомогою:

AЛише більшої вибірки
BВипадкової вибірки
CПростого сліпого методу
DКонтрбалансування

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник використовує опитувальник, інтерв'ю та спостереження, щоб вивчати стрес на роботі, і результати узгоджуються. Як називають цей підхід?

AСтратифікацією
BТріангуляцією
CКонтрбалансуванням
DРеплікацією

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 37, 28, 21, 21, 46.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 55?

μ = 70σ = 15x = 55

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 6 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

6 / 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 88 і 118,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 118,75

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 78,5 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 78,5s = 2,595%t(19) = 2,093

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 34E = 1,590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 98,96 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,96s = 4n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 190%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 107?

n = 5ŷ = 107

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «сільські, середній».

сума рядка = 111сума стовпця = 70N = 204

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 10 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Контрбалансування

Чому це відповідь

Контрбалансування рівномірно розподіляє ефекти тренування й втоми між умовами.

Відповідь

D · Контрбалансування

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Тріангуляцією

Чому це відповідь

Тріангуляція використовує кілька методів, джерел чи дослідників. Їхня узгодженість підвищує впевненість у валідності результатів.

Відповідь

B · Тріангуляцією

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,83

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 153/5 = 30,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6,4² + (−2,6)² + (−9,6)² + (−9,6)² + 15,4² = 469,2

Стандартне відхилення

s = √(469,2/4) = 10,83

Відповідь

s = 10,83

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4167

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Відповідь

P = 0,4167

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,023

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Відповідь

σ_Y = 4,023

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,05 + 1 = 6,25.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6825

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,8) = 0,8944 − 0,2119 = 0,6825

Відповідь

P = 0,6825

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 73,42 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 балів

Відповідь

x = 73,42 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,17

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Похибка оцінки

E = 2,093·2,5/√20 = 1,17

Відповідь

E = 1,17

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1391

Виразіть n

n = (1,645·34/1,5)² = 1390

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1391

Відповідь

n = 1391

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерію

t = (98,96 − 100)/0,4 = −2,6

Відповідь

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Виразіть n

n = (1,645·10/1)² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9052

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 338/6 = 56,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 309,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 70²/(17,5·309,3) = 0,9052

Відповідь

r² = 0,9052

Близько 90,52% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 10,04

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 433/5 = 86,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

Лінія регресії

b = 268/40 = 6,7

a = 86,6 − 6,7·7 = 39,7

ŷ = 39,7 + 6,7·x

Розв’яжіть щодо x

x = (107 − 39,7)/6,7 = 10,04

Відповідь

x = 10,04

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 38,09

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 111·70/204 = 38,09

Відповідь

E = 38,09

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 16,92

Ступені вільності

df = 10 − 1 = 9

Таблиця

χ²_crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919

Відповідь

χ²_crit = 16,919

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology