Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

95% довірчий інтервал для середнього 50 становить від 46 до 54. Яке тлумачення найточніше?

  1. AВикористана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
  2. BРезультат не значущий
  3. C95% окремих учасників вибірки набрали від 46 до 54 балів за цим вимірюванням
  4. DІмовірність того, що середнє вибірки дорівнює 50, становить 95%
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявило, що студенти, які більше сплять, мають вищі оцінки. Яка зміна дизайну найкраще дозволила б зробити причинний висновок?

  1. AВипадково розподілити студентів за різними режимами сну
  2. BТочніше вимірювати оцінки
  3. CОпитати більше студентів
  4. DПопросити студентів двічі повідомити про сон і усереднити два звіти
3.Описова статистикаСередня
15202530354045

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 19, 14, 47, 13.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 50,4?

μ = 60σ = 8x = 50,4
P =
5.ІмовірністьСередня
n = 15k = 4N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.

n = 15k = 4
N =
6.ІмовірністьСкладна
n = 8, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k012345678

Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 8p = 0,4
P =
7.Нормальний розподілСередня
169,6192P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,6 і 192 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 169,6x2 = 192
P =
8.Нормальний розподілСкладна
0,03 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 16, s = 3L = ?Ux̄ = 87,5E95%

Вибірка з 16 елементів має середнє 87,5 і стандартне відхилення s = 3. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 87,5s = 395%t(15) = 2,131
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
p ≈ 0,15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0499%

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,15 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?

p ≈ 0,15E = 0,0499%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 71,14 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,14s = 15n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 198.5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 198,5σ = 15n = 100α = 0,10
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy2284386448591070xy5104060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy1293345397459501153xy510304050x = 8

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 8.

n = 6x = 8
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
кашельбез кашлюРазомкурці322860некурці33740Разом6535100

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків

Чому це відповідь

95% ДІ дає діапазон правдоподібних значень параметра популяції. Вужчі інтервали, отримані на більших вибірках, означають точніші оцінки.

Відповідь

A · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

Чому це відповідь

Лише маніпуляція сном із випадковим розподілом контролює треті змінні й дозволяє причинний висновок у межах етики.

Відповідь

A · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну
3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,91

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 115/5 = 23

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−4)² + (−9)² + 24² + (−10)² = 774

Стандартне відхилення

s = √(774/4) = 13,91

Відповідь

s = 13,91
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849
5.Імовірність

Відповідь: N = 1365

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Відповідь

N = 1365
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1064

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958

Додайте

P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064

Відповідь

P = 0,1064
7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8622

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2
z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Відповідь

P = 0,8622
8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9515

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Відповідь

P = 0,9515
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 85,9

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·3/√16 = 1,598

Інтервал

87,5 ± 1,598 → [85,9, 89,1]

Відповідь

нижня межа = 85,9
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 529

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,15·0,85/0,04² = 528,8

Округліть угору

n = 529

Відповідь

n = 529
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,801

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Статистика критерію

t = (71,14 − 75)/2,143 = −1,801

Відповідь

t = −1,801
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 38,9 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 200 − 1,282·1,5 = 198,1

z при справжньому середньому

z = (198,1 − 198,5)/1,5 = −0,282

Потужність

потужність = P(Z < −0.282) = 38.9%
1 − β = 38,9%

Відповідь

1 − β = 38,9%
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9837

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 239/5 = 47,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1121

Коефіцієнт детермінації

r² = 210²/(40·1121) = 0,9837

Відповідь

r² = 0,9837

Близько 98,37% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 46,64

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 250/6 = 41,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Лінія регресії

b = 174/70 = 2,486
a = 41,67 − 2,486·6 = 26,75
ŷ = 26,75 + 2,486·x

Прогноз

ŷ = 26,75 + 2,486·8 = 46,64

Відповідь

ŷ = 46,64
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,974

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
некурці: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 39)²/39 + (28 − 21)²/21 + (33 − 26)²/26 + (7 − 14)²/14
χ² = 8,974

Відповідь

χ² = 8,974

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 7,815

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблиця

χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology