Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Студент набирає 130 балів за тестом із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яке значення z?

A1,5
B2,0
C3,0
D0,5

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

«Криза відтворюваності» в психології означає:

AКопіювання опитувальників без дозволу
BБрак учасників для експериментів
CТе, що журнали за законом зобов'язані відхиляти всі подані дослідження-реплікації
DЩо багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 33, 31, 12, 49, 10.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 35,6.

μ = 50σ = 12x = 35,6

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2Y = −2X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0764. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0764

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 44 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 44s = 13,595%t(15) = 2,131

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 193,4 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193,4s = 12n = 16

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 104,2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 104,2σ = 12n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · 2,0

Чому це відповідь

(130 − 100) / 15 = 2. Бал на два стандартні відхилення вищий за середнє — вищий, ніж приблизно в 97–98% людей.

Відповідь

B · 2,0

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

Чому це відповідь

Великі проєкти реплікацій виявили, що багато ефектів менші або відсутні, що пов'язано з упередженістю публікацій, малими вибірками та гнучким аналізом. Однією з відповідей є попередня реєстрація.

Відповідь

D · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,9

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 146/6 = 24,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−13,33)² + 8,667² + 6,667² + (−12,33)² + 24,67² + (−14,33)² = 1263

Стандартне відхилення

s = √(1263/5) = 15,9

Відповідь

s = 15,9

4.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (35,6 − 50)/12 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,819

Розкид X

μ = 2,65, Var(X) = 0,8275, σ_X = 0,9097

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·0,9097 = 1,819

Відповідь

σ_Y = 1,819

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·2,65 − 3 = −8,3.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,43

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0764 = 0,9236

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9236 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,43

Відповідь

z = 1,43

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9875

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Відповідь

P = 0,9875

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 51,19

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·13,5/√16 = 7,192

Інтервал

44 ± 7,192 → [36,81, 51,19]

Відповідь

верхня межа = 51,19

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Округліть угору

n = 4148

Відповідь

n = 4148

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Статистика критерію

t = (193,4 − 200)/3 = −2,2

Відповідь

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 41,06 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 100 + 2,326·2 = 104,7

z при справжньому середньому

z = (104,7 − 104,2)/2 = 0,226

Потужність

потужність = P(Z > 0,226) = 41,06%

1 − β = 41,06%

Відповідь

1 − β = 41,06%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9176

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 243/5 = 48,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 149,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 37²/(10·149,2) = 0,9176

Відповідь

r² = 0,9176

Близько 91,76% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 19,72

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 83/6 = 13,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5

Лінія регресії

b = −51,5/17,5 = −2,943

a = 13,83 − (−2,943)·3,5 = 24,13

ŷ = 24,13 − 2,943·x

Прогноз

ŷ = 24,13 + (−2,943)·1,5 = 19,72

Відповідь

ŷ = 19,72

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,333

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 60·28/140 = 12, 60·63/140 = 27, 60·49/140 = 21

працівники: 80·28/140 = 16, 80·63/140 = 36, 80·49/140 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (12 − 12)²/12 + (21 − 27)²/27 + (27 − 21)²/21 + (16 − 16)²/16 + (42 − 36)²/36 + (22 − 28)²/28

χ² = 5,333

Відповідь

χ² = 5,333

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 7,815

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Таблиця

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²_crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology