Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Екологічна валідність означає:

AНаскільки тест узгоджений у часі
BЧи виглядає тест так, ніби вимірює потрібне
CНаскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації
DЧи передбачає тест майбутню поведінку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження повідомляє t(28) = 2,50, p = .018 для двох незалежних груп однакового розміру. Скільки учасників узяло участь?

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 55, 35, 17, 21.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 34.

μ = 50σ = 20x = 34

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.

n = 15k = 2

N =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,3Y = 3X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 740,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 5,1 і стандартне відхилення 3,3. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 5,1s_d = 3,395%t(8) = 2,306

E = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 25. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 25E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 501,1 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,1s = 5n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 20E = 399%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 49). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 49)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, низький».

сума рядка = 101сума стовпця = 62N = 178

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 10 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

Чому це відповідь

Екологічна валідність стосується того, чи застосовні результати до повсякденних ситуацій. Суворо контрольовані лабораторні дослідження часто мають її низькою.

Відповідь

C · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · 30

Чому це відповідь

28 ступенів свободи означають 28 + 2 = 30 учасників, по 15 у кожній групі.

Відповідь

B · 30

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,03

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 155/5 = 31

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4)² + 24² + 4² + (−14)² + (−10)² = 904

Стандартне відхилення

s = √(904/4) = 15,03

Відповідь

s = 15,03

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (34 − 50)/20 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

5.Імовірність

Відповідь: N = 105

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Відповідь

N = 105

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 3,584

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,35, Var(X) = 1,428, σ_X = 1,195

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,195 = 3,584

Відповідь

σ_Y = 3,584

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,35 + 1 = 8,05.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 80,78 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 балів

Відповідь

x = 80,78 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,537 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·3,3/√9 = 2,537

Відповідь

E = 2,537 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 9604

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·25/0,5)² = 9604

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 9604

Відповідь

n = 9604

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,76

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерію

t = (501,1 − 500)/0,625 = 1,76

Відповідь

t = 1,76

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 295

Виразіть n

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Округліть угору

n = 295

Відповідь

n = 295

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9824

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 391/5 = 78,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2031

Коефіцієнт кореляції

r = 420/√(90·2031) = 0,9824

Відповідь

r = 0,9824

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5,376

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95,5

Лінія регресії

b = 95,5/17,5 = 5,457

a = 59,83 − 5,457·3,5 = 40,73

ŷ = 40,73 + 5,457·x

Прогнозоване значення

ŷ = 40,73 + 5,457·2,5 = 54,38

Залишок

e = 49 − 54,38 = −5,376

Відповідь

e = −5,376

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 35,18

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 101·62/178 = 35,18

Відповідь

E = 35,18

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 21,67

Ступені вільності

df = 10 − 1 = 9

Таблиця

χ²_crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666

Відповідь

χ²_crit = 21,666

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology