Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест підходить для порівняння середніх двох незалежних груп з інтервальними даними, розподіленими приблизно нормально?

AКореляція Пірсона
BЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
CТест хі-квадрат
Dt-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
BОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
CОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі
DПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 58, 38, 32, 28, 58, 34, 45.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень менша за 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 6 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

6 / 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,25, 0,05Y = 0,5X + 10

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 178 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 192,35

P =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 30% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів30%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,2. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 100 спостереженнями?

99%n₁ = 50E₁ = 2,290%n₂ = 100

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 30E = 595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 95,5, стандартне відхилення 2. Група 2: 11 студентів, середній бал 98,9, стандартне відхилення 3. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 95,5s₁ = 2n₂ = 11x̄₂ = 98,9s₂ = 3

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 100,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 100,6σ = 8n = 2599%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 25). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(9, 25)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «працівники, велосипед».

сума рядка = 46сума стовпця = 71N = 122

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 3 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · t-тест для незалежних вибірок

Чому це відповідь

t-тест для незалежних вибірок порівнює два групові середні. Хі-квадрат — для частот; Вілкоксон — для пов'язаних вибірок із непараметричними даними.

Відповідь

D · t-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 293/7 = 41,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 16,14² + (−3,857)² + (−9,857)² + (−13,86)² + 16,14² + (−7,857)² + 3,143² = 896,9

Стандартне відхилення

s = √(896,9/6) = 12,23

Відповідь

s = 12,23

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4167

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Відповідь

P = 0,4167

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,5831

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,8, Var(X) = 1,36, σ_X = 1,166

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·1,166 = 0,5831

Відповідь

σ_Y = 0,5831

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,8 + 10 = 10,9.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4798

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Відповідь

P = 0,4798

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 107,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,7

z з таблиці

z ≈ 0,52

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 балів

Відповідь

x = 107,8 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 0,9934

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/100) = 0,4515

Нова похибка

E₂ = 2,2·0,4515 = 0,9934

Відповідь

E₂ = 0,9934

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·30/5)² = 138,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 139

Відповідь

n = 139

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,291

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·2² + 10·3²)/14 = 7,571

s_p = 2,752

Стандартна похибка

SE = 2,752·√(1/5 + 1/11) = 1,484

Статистика критерію

t = (95,5 − 98,9)/1,484 = −2,291

Відповідь

t = −2,291

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 104,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√25 = 4,122

Межа інтервалу

U = 100,6 + 4,122 = 104,7

Відповідь

U = 104,7

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9922

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 101/5 = 20,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 412,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 128²/(40·412,8) = 0,9922

Відповідь

r² = 0,9922

Близько 99,22% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,9

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Лінія регресії

b = 76/40 = 1,9

a = 14,4 − 1,9·6 = 3

ŷ = 3 + 1,9·x

Прогнозоване значення

ŷ = 3 + 1,9·9 = 20,1

Залишок

e = 25 − 20,1 = 4,9

Відповідь

e = 4,9

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 26,77

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 46·71/122 = 26,77

Відповідь

E = 26,77

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 5,991

Ступені вільності

df = 3 − 1 = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Відповідь

χ²_crit = 5,991

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology