Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У польовому експерименті дослідник:

AАналізує дані, зібрані іншими
BМаніпулює НЗ у лабораторії
CМаніпулює НЗ у реальному середовищі
DЛише спостерігає, нічим не маніпулюючи

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Факторний ANOVA 2 × 3 показує, що препарат покращує пам'ять у молодих дорослих, але не в літніх. Що виявлено?

AЕфект підлоги
BВзаємодію препарату й віку
CЛише головний ефект віку
DПомилку I роду

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 33, 20, 54, 37.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 50.

μ = 60σ = 10x = 50

z =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 9

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8888. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8888

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,6. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?

90%n₁ = 50E₁ = 3,6n₂ = 200

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,1 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,1E = 0,0590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 14 студентів, середній бал 44,5, стандартне відхилення 11. Група 2: 7 студентів, середній бал 55,2, стандартне відхилення 5,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 14x̄₁ = 44,5s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 55,2s₂ = 5,5

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 98 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 70 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 70n₂ = 120

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (17, 37). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(17, 37)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, без дефекту».

сума рядка = 103сума стовпця = 69N = 178

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 6 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Маніпулює НЗ у реальному середовищі

Чому це відповідь

Польові експерименти, як-от інсценовані ситуації допомоги на вулиці, підвищують екологічну валідність, але дають менше контролю над сторонніми змінними й порушують питання згоди.

Відповідь

C · Маніпулює НЗ у реальному середовищі

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Взаємодію препарату й віку

Чому це відповідь

Взаємодія виникає, коли ефект одного чинника різниться на різних рівнях іншого. Тут ефект препарату залежить від вікової групи.

Відповідь

B · Взаємодію препарату й віку

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,14

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 180/5 = 36

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 0² + (−3)² + (−16)² + 18² + 1² = 590

Стандартне відхилення

s = √(590/4) = 12,14

Відповідь

s = 12,14

4.Описова статистика

Відповідь: z = −1

Стандартизуйте

z = (50 − 60)/10 = −1

Відповідь

z = −1

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,175

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Відповідь

P = 0,175

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,7748

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,9⁹ = 0,3874

P(X = 1) = 9·0,1·0,9⁸ = 0,3874

Додайте

P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748

Відповідь

P = 0,7748

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,22

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,8888 = 0,1112

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,1112 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,22

Відповідь

z = −1,22

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(50/200) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 3,6·0,5 = 1,8

Відповідь

E₂ = 1,8

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 98

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,05² = 97,42

Округліть угору

n = 98

Відповідь

n = 98

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,405

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (13·11² + 6·5,5²)/19 = 92,34

s_p = 9,609

Стандартна похибка

SE = 9,609·√(1/14 + 1/7) = 4,448

Статистика критерію

t = (44,5 − 55,2)/4,448 = −2,405

Відповідь

t = −2,405

При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,179

Вибіркові частки

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 70/120 = 0,5833

p̂ = 168/270 = 0,6222

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,6222·0,3778·(1/150 + 1/120)) = 0,05938

Статистика критерію

z = (0,6533 − 0,5833)/0,05938 = 1,179

Відповідь

z = 1,179

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9921

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 103/6 = 17,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 558,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 197²/(70·558,8) = 0,9921

Відповідь

r² = 0,9921

Близько 99,21% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,6

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 244/5 = 48,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Лінія регресії

b = 96/40 = 2,4

a = 48,8 − 2,4·20 = 0,8

ŷ = 0,8 + 2,4·x

Прогнозоване значення

ŷ = 0,8 + 2,4·17 = 41,6

Залишок

e = 37 − 41,6 = −4,6

Відповідь

e = −4,6

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 39,93

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 103·69/178 = 39,93

Відповідь

E = 39,93

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 18,31

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Таблиця

χ²_crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Відповідь

χ²_crit = 18,307

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology