Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Публікаційне упередження означає:

AЩо журнали публікують лише якісні дослідження
BЩо дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими
CЩо дослідники публікують те саме дослідження двічі
DЩо рецензенти віддають перевагу роботам авторів із відомих університетів порівняно з менш відомими

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

В обґрунтованій теорії (grounded theory) збирання даних триває, доки:

AНе опитано щонайменше 1,000 учасників
BНе досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій
CНе отримано p-значення нижче 0,05
DНе підтверджено початкову гіпотезу

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 13, 38, 37, 12, 23, 31.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 82?

μ = 70σ = 20x = 82

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,25, 0,3, 0,2

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €3 з імовірністю 0,2 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€3: p = 0,2€50: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 735,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735,2 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 13 елементів має середнє 46,5 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 46,5s = 13,590%t(12) = 1,782

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 45 kg, стандартне відхилення 3 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 57 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 45s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 57s₂ = 790%t(15) = 1,753

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 51 mm, відоме стандартне відхилення лінії 6 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 58,7 mm, відоме стандартне відхилення 20 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 51 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 40x̄₂ = 58,7 mmσ₂ = 20 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 110 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 48 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 110n₁ = 200x₂ = 48n₂ = 80

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

Чому це відповідь

Коли незначущі дослідження залишаються в шухлядах, опублікована література переоцінює розміри ефектів, що спотворює метааналізи.

Відповідь

B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Не досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій

Чому це відповідь

Обґрунтована теорія розвиває теорію індуктивно, збираючи й кодуючи дані одночасно, і припиняє формування вибірки, коли нові дані вже не розвивають категорій.

Відповідь

B · Не досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,52

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 154/6 = 25,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,67)² + 12,33² + 11,33² + (−13,67)² + (−2,667)² + 5,333² = 663,3

Стандартне відхилення

s = √(663,3/5) = 11,52

Відповідь

s = 11,52

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,888

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 1·0,05 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,05 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,95

Дисперсія

Var(X) = 6,95 − 2,25² = 1,888

Відповідь

Var(X) = 1,888

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,6 €

Чисті результати

G: 2 (p = 0,2), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,2 + 49·0,02 − 1·0,78 = 0,6 €

Відповідь

E(G) = 0,6 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 245,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,2

z з таблиці

z ≈ −0,84

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Відповідь

x = 245,8 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,672

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Похибка оцінки

E = 1,782·13,5/√13 = 6,672

Відповідь

E = 6,672

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,48 kg

Інтервал для різниці: оцінка ± критичне значення × стандартна похибка. Для двох незалежних середніх з відомими σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) і z. За рівних невідомих дисперсій: об’єднане s_p і t з n₁ + n₂ − 2 ступенями свободи. Для парних даних працюйте з різницями: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·3² + 7·7²)/15 = 27,67

s_p = 5,26

Похибка оцінки

E = 1,753·5,26·√(1/9 + 1/8) = 4,48

Відповідь

E = 4,48 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,392

Перевірка гіпотези: статистика критерію = (оцінка − значення за H₀)/(стандартна похибка за H₀). p-значення — це ймовірність (якщо H₀ правильна) отримати статистику, щонайменше таку ж екстремальну, як спостережена: площа в одному хвості для односторонньої H₁ і подвоєна площа хвоста для двосторонньої H₁. Відхиляйте H₀, коли p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(6²/100 + 20²/40) = √10,36 = 3,219

Статистика критерію

z = (51 − 58,7)/3,219 = −2,392

Відповідь

z = −2,392

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −0,7623

Вибіркові частки

p̂₁ = 110/200 = 0,55

p̂₂ = 48/80 = 0,6

p̂ = 158/280 = 0,5643

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,5643·0,4357·(1/200 + 1/80)) = 0,06559

Статистика критерію

z = (0,55 − 0,6)/0,06559 = −0,7623

Відповідь

z = −0,7623

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9846

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 390/6 = 65

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1580

Коефіцієнт детермінації

r² = 330²/(70·1580) = 0,9846

Відповідь

r² = 0,9846

Близько 98,46% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 42,45

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 225/5 = 45

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Лінія регресії

b = 51/10 = 5,1

a = 45 − 5,1·4 = 24,6

ŷ = 24,6 + 5,1·x

Прогноз

ŷ = 24,6 + 5,1·3,5 = 42,45

Відповідь

ŷ = 42,45

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,24

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35

жінки: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (53 − 65)²/65 + (47 − 35)²/35 + (64 − 52)²/52 + (16 − 28)²/28

χ² = 14,24

Відповідь

χ² = 14,24

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 22,65

Очікувані частоти

завод A: 75, 25

завод B: 75, 25

завод C: 45, 15

Статистика хі-квадрат

χ² = (68 − 75)²/75 + (32 − 25)²/25 + (68 − 75)²/75 + (32 − 25)²/25 + (59 − 45)²/45 + (1 − 15)²/15

χ² = 22,65

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

22,65 > 9,210

Відповідь

χ² = 22,65

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology