Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Внутрішня валідність означає:

  1. AЧи узагальнюються результати за межі дослідження на інші популяції, умови та часи
  2. BЧи вважали учасники дослідження цікавим
  3. CЧи дає тест однакові результати з часом
  4. DЧи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Збільшення обсягу вибірки в дослідженні найбезпосередніше:

  1. AПідвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту
  2. BУсуває будь-яке зміщення вибірки
  3. CЗбільшує розмір ефекту
  4. DГарантує статистично значущий результат, якщо будь-який ефект існує
3.Описова статистикаСередня
2025303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 57, 39, 28, 39.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 110?

μ = 100σ = 5x = 110
P =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)10,0520,130,340,350,25μ = 3,6

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,1, 0,3, 0,3, 0,25
Var(X) =
6.ІмовірністьСкладна
n = 11, p = 0,5: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,5
P =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа праворуч від z = 0,9884

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9884. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9884
z =
8.Нормальний розподілСкладна
0,02 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 25, s = 3,5LUx̄ = 15,5E = ?95%

Вибірка з 25 елементів має середнє 15,5 і стандартне відхилення s = 3,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 15,5s = 3,595%t(24) = 2,064
E =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 40E = 590%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,99801,998

Вибірка з 64 студентів має середній бал 201,1 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,1s = 4n = 64
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 195.6. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 195,6σ = 12n = 36α = 0,01
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy127225324423520xy242025

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy23343364284610481254xy5104050ŷ = 38

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 38?

n = 6ŷ = 38
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
кашельбез кашлюРазомкурці5743100некурці233760Разом8080160

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 4 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

4 × 4
df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

Чому це відповідь

Висока внутрішня валідність означає, що альтернативні пояснення, як-от змішувальні змінні, вимоги ситуації чи упередженість експериментатора, виключено. Зовнішня валідність стосується узагальнення.

Відповідь

D · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

Чому це відповідь

Більші вибірки зменшують стандартну похибку й підвищують потужність. Вони не змінюють справжнього розміру ефекту й не усувають систематичного зміщення.

Відповідь

A · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту
3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,94

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 183/5 = 36,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−16,6)² + 20,4² + 2,4² + (−8,6)² + 2,4² = 777,2

Стандартне відхилення

s = √(777,2/4) = 13,94

Відповідь

s = 13,94
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772
5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,24

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,05 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,3 + 5·0,25 = 3,6

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,3 + 25·0,25 = 14,2

Дисперсія

Var(X) = 14,2 − 3,6² = 1,24

Відповідь

Var(X) = 1,24
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,005859

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371

Додайте

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Відповідь

P = 0,005859
7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −2,27

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9884 = 0,0116

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0116 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −2,27

Відповідь

z = −2,27
8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8133

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Відповідь

P = 0,8133
9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,445

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Похибка оцінки

E = 2,064·3,5/√25 = 1,445

Відповідь

E = 1,445
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 174

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·40/5)² = 173,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 174

Відповідь

n = 174
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерію

t = (201,1 − 200)/0,5 = 2,2

Відповідь

t = 2,2
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 44,99 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√36 = 2
x̄c = 200 − 2,326·2 = 195,3

z при справжньому середньому

z = (195,3 − 195,6)/2 = −0,126

Потужність

потужність = P(Z < −0.126) = 44.99%
1 − β = 44,99%

Відповідь

1 − β = 44,99%
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9552

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 119/5 = 23,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26,8

Коефіцієнт детермінації

r² = −16²/(10·26,8) = 0,9552

Відповідь

r² = 0,9552

Близько 95,52% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,879

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 256/6 = 42,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Лінія регресії

b = 154/70 = 2,2
a = 42,67 − 2,2·7 = 27,27
ŷ = 27,27 + 2,2·x

Розв’яжіть щодо x

x = (38 − 27,27)/2,2 = 4,879

Відповідь

x = 4,879
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,227

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 100·80/160 = 50, 100·80/160 = 50
некурці: 60·80/160 = 30, 60·80/160 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (57 − 50)²/50 + (43 − 50)²/50 + (23 − 30)²/30 + (37 − 30)²/30
χ² = 5,227

Відповідь

χ² = 5,227

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 9

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

Відповідь

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology