Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Щоб отримати вибірку з такими самими частками студентів першого, другого й третього курсів, як у популяції університету, дослідник має використати:

AВибірку «сніжної кулі»
BДоступну вибірку
CВибірку добровольців
DСтратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Факторний ANOVA 2 × 3 показує, що препарат покращує пам'ять у молодих дорослих, але не в літніх. Що виявлено?

AЛише головний ефект віку
BЕфект підлоги
CВзаємодію препарату й віку
DПомилку I роду

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 60, 51, 58, 26, 54.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 60.

μ = 70σ = 5x = 60

z =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 4 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

4 / 8

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 12p = 0,7k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9429. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9429

z =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 22,5 і стандартне відхилення s = 1. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 22,5s = 190%t(14) = 1,761

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 30E = 595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 98,88 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,88s = 10n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 199%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 19.

n = 6x = 19

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Стратифіковану вибірку

Чому це відповідь

Стратифікована вибірка визначає підгрупи (страти) й випадково обирає учасників із кожної пропорційно її розміру в популяції, що робить вибірку репрезентативнішою.

Відповідь

D · Стратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Взаємодію препарату й віку

Чому це відповідь

Взаємодія виникає, коли ефект одного чинника різниться на різних рівнях іншого. Тут ефект препарату залежить від вікової групи.

Відповідь

C · Взаємодію препарату й віку

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,75

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 249/5 = 49,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,2² + 1,2² + 8,2² + (−23,8)² + 4,2² = 756,8

Стандартне відхилення

s = √(756,8/4) = 13,75

Відповідь

s = 13,75

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (60 − 70)/5 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,09091

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Відповідь

P = 0,09091

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,000191

Біноміальна формула

P(X = 2) = 66·0,7²·0,3¹⁰ = 66·0,49·5,905 × 10⁻⁶ = 0,000191

Відповідь

P = 0,000191

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,58

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9429 = 0,0571

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0571 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,58

Відповідь

z = −1,58

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Відповідь

x = 254,2 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 22,95

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Похибка оцінки

E = 1,761·1/√15 = 0,4547

Інтервал

22,5 ± 0,4547 → [22,05, 22,95]

Відповідь

верхня межа = 22,95

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Виразіть n

n = (1,96·30/5)² = 138,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 139

Відповідь

n = 139

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,896

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерію

t = (98,88 − 100)/1,25 = −0,896

Відповідь

t = −0,896

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 425

Виразіть n

n = (2,576·8/1)² = 424,7

Округліть угору

n = 425

Відповідь

n = 425

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,919

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 274/5 = 54,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 272,8

Коефіцієнт кореляції

r = 96/√(40·272,8) = 0,919

Відповідь

r = 0,919

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 68,83

Середні

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 413/6 = 68,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 331

Лінія регресії

b = 331/70 = 4,729

a = 68,83 − 4,729·19 = −21,01

ŷ = −21,01 + 4,729·x

Прогноз

ŷ = −21,01 + 4,729·19 = 68,83

Відповідь

ŷ = 68,83

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,857

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56

некурці: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70

Статистика хі-квадрат

χ² = (30 − 24)²/24 + (50 − 56)²/56 + (24 − 30)²/30 + (76 − 70)²/70

χ² = 3,857

Відповідь

χ² = 3,857

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology