Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест порівнює дві незалежні групи, коли дані порядкові або явно не нормальні?

At-тест для незалежних вибірок
BU-тест Манна–Вітні
CТест знакових рангів Вілкоксона
DТест хі-квадрат

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

«Криза відтворюваності» в психології означає:

AБрак учасників для експериментів
BТе, що журнали за законом зобов'язані відхиляти всі подані дослідження-реплікації
CКопіювання опитувальників без дозволу
DЩо багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 42, 35, 38, 53, 58.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 74?

μ = 50σ = 12x = 74

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,25, 0,1, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 10p = 0,5k = 1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 22,4 і 33,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,4x₂ = 33,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 112 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 112s = 15,599%t(19) = 2,861

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.

n = 11s = 7 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 53,22 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,22s = 10n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 99,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 99,9σ = 5n = 1699%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 95Σy = 355Σx² = 1845Σy² = 26351Σxy = 6955

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 24,5.

n = 5x = 24,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · U-тест Манна–Вітні

Чому це відповідь

U-тест Манна–Вітні порівнює ранги між двома непов'язаними групами. Тест знакових рангів Вілкоксона призначений для пов'язаних вибірок.

Відповідь

B · U-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

Чому це відповідь

Великі проєкти реплікацій виявили, що багато ефектів менші або відсутні, що пов'язано з упередженістю публікацій, малими вибірками та гнучким аналізом. Однією з відповідей є попередня реєстрація.

Відповідь

D · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,96

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 248/6 = 41,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−19,33)² + 0,6667² + (−6,333)² + (−3,333)² + 11,67² + 16,67² = 839,3

Стандартне відхилення

s = √(839,3/5) = 12,96

Відповідь

s = 12,96

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,887

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,3 = 3,25

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,3 = 12,45

Дисперсія

Var(X) = 12,45 − 3,25² = 1,887

Відповідь

Var(X) = 1,887

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,009766

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 10·0,5¹·0,5⁹ = 10·0,5·0,001953 = 0,009766

Відповідь

P = 0,009766

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5439

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−1,6) = 0,5987 − 0,0548 = 0,5439

Відповідь

P = 0,5439

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 473 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

Відповідь

x = 473 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 102,1

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Похибка оцінки

E = 2,861·15,5/√20 = 9,916

Інтервал

112 ± 9,916 → [102,1, 121,9]

Відповідь

нижня межа = 102,1

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 4,891 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 10·7² = 490

Межі для σ²

490/20,483 = 23,92

490/3,247 = 150,9

Межа для σ

σ = √23,92 = 4,891 µm

Відповідь

σ = 4,891 µm

95 % інтервал для σ: [4,891, 12,28] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,898

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Статистика критерію

t = (53,22 − 50)/1,111 = 2,898

Відповідь

t = 2,898

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 103,1

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√16 = 3,22

Межа інтервалу

U = 99,9 + 3,22 = 103,1

Відповідь

U = 103,1

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9808

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 6955 − 95·355/5 = 210

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 26351 − 355²/5 = 1146

Коефіцієнт кореляції

r = 210/√(40·1146) = 0,9808

Відповідь

r = 0,9808

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 148,8

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 615/5 = 123

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 516

Лінія регресії

b = 516/90 = 5,733

a = 123 − 5,733·20 = 8,333

ŷ = 8,333 + 5,733·x

Прогноз

ŷ = 8,333 + 5,733·24,5 = 148,8

Відповідь

ŷ = 148,8

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,37

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·110/220 = 60, 120·110/220 = 60

плацебо: 100·110/220 = 50, 100·110/220 = 50

Статистика хі-квадрат

χ² = (74 − 60)²/60 + (46 − 60)²/60 + (36 − 50)²/50 + (64 − 50)²/50

χ² = 14,37

Відповідь

χ² = 14,37

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology