Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Екологічна валідність означає:

AНаскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації
BЧи виглядає тест так, ніби вимірює потрібне
CЧи передбачає тест майбутню поведінку
DНаскільки тест узгоджений у часі

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Міри розміру ефекту, як-от d Коена, повідомляють тому, що вони:

AПоказують, чи статистично значущий результат на обраному рівні альфа
BПоказують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки
CВказують, скільки учасників вибуло
DСкасовують потребу в будь-якій гіпотезі

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 33, 28, 24, 14, 54, 13.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 102.

μ = 100σ = 5x = 102

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 3

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,15 і €20 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€2: p = 0,15€20: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4713. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4713

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 7 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 1,3 і стандартне відхилення 4,1. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 7d̄ = 1,3s_d = 4,190%t(6) = 1,943

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 25 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 24 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 12,401 і 2,5 % — вище від 39,364.

n = 25s = 8,9 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 119,3 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,3s = 8n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12,5. Насправді середнє дорівнює 53,75. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 50μ = 53,75σ = 12,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (27, 134). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(27, 134)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, значний».

сума рядка = 84сума стовпця = 62N = 156

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

Чому це відповідь

Екологічна валідність стосується того, чи застосовні результати до повсякденних ситуацій. Суворо контрольовані лабораторні дослідження часто мають її низькою.

Відповідь

A · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

Чому це відповідь

У великих вибірках навіть крихітні ефекти можуть бути значущими. Розмір ефекту виражає величину відмінності, напр. d = 0,2 малий, 0,5 середній, 0,8 великий.

Відповідь

B · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,08

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 166/6 = 27,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,333² + 0,3333² + (−3,667)² + (−13,67)² + 26,33² + (−14,67)² = 1137

Стандартне відхилення

s = √(1137/5) = 15,08

Відповідь

s = 15,08

4.Описова статистика

Відповідь: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (102 − 100)/5 = 0,4

Відповідь

z = 0,4

5.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,3 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 1 (p = 0,15), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 1·0,15 + 19·0,02 − 1·0,83 = −0,3 €

Відповідь

E(G) = −0,3 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,63

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4713)/2 = 0,7357

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7357 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,63

Відповідь

z = 0,63

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 533,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Відповідь

x = 533,66 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 4,311 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·4,1/√7 = 3,011

Інтервал

1,3 ± 3,011 → [−1,711, 4,311]

Відповідь

верхня межа = 4,311 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 6,949 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 24·8,9² = 1901

Межі для σ²

1901/39,364 = 48,29

1901/12,401 = 153,3

Межа для σ

σ = √48,29 = 6,949 µm

Відповідь

σ = 6,949 µm

95 % інтервал для σ: [6,949, 12,38] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,875

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (119,3 − 120)/0,8 = −0,875

Відповідь

t = −0,875

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 58,63 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 50 + 1,282·2,5 = 53,2

z при справжньому середньому

z = (53,2 − 53,75)/2,5 = −0,218

Потужність

потужність = P(Z > −0,218) = 58,63%

1 − β = 58,63%

Відповідь

1 − β = 58,63%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9163

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 370/6 = 61,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 419,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 82²/(17,5·419,3) = 0,9163

Відповідь

r² = 0,9163

Близько 91,63% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 3,486

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 672/6 = 112

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

Лінія регресії

b = 324/70 = 4,629

a = 112 − 4,629·23 = 5,543

ŷ = 5,543 + 4,629·x

Прогнозоване значення

ŷ = 5,543 + 4,629·27 = 130,5

Залишок

e = 134 − 130,5 = 3,486

Відповідь

e = 3,486

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 33,38

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 84·62/156 = 33,38

Відповідь

E = 33,38

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 16,81

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблиця

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Відповідь

χ²_crit = 16,812

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology