Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Новий опитувальник депресії прогнозує, які студенти звернуться по лікування впродовж наступного року. Це підтверджує який тип валідності?

AПоточну (concurrent) валідність
BОчевидну (face) валідність
CЗмістову валідність
DПрогностичну валідність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Чому багато дослідників стверджують, що p-значення слід подавати разом із розмірами ефекту та довірчими інтервалами?

AДовірчі інтервали потрібні лише в якісних дослідженнях
BP-значення показують імовірність того, що гіпотеза правдива
CP-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
DРозміри ефекту роблять обсяг вибірки неважливим для значущості

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 31, 53, 47, 22, 48, 34.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 154.

μ = 170σ = 20x = 154

z =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 7

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,3

P =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 114,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 66 і стандартне відхилення s = 3. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 66s = 390%t(9) = 1,833

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 10. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 10E = 395%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 100,9 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,9s = 12n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 492,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 492,9σ = 20n = 4999%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 27Σy = 449Σx² = 139Σy² = 34383Σxy = 2134

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 6 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Прогностичну валідність

Чому це відповідь

Прогностичну валідність показано, коли бали прогнозують пізніший критерій. Поточна валідність використовує критерій, виміряний одночасно.

Відповідь

D · Прогностичну валідність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

Чому це відповідь

P-значення сильно залежить від обсягу вибірки й лише показує, наскільки несподіваними є дані за нульової гіпотези. Розміри ефекту показують величину, а інтервали — точність.

Відповідь

C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,37

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 266/7 = 38

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7)² + (−7)² + 15² + 9² + (−16)² + 10² + (−4)² = 776

Стандартне відхилення

s = √(776/6) = 11,37

Відповідь

s = 11,37

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (154 − 170)/20 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,7209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Відповідь

P = 0,7209

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,113

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Додайте

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Відповідь

P = 0,113

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 258,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Відповідь

x = 258,2 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,739

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Похибка оцінки

E = 1,833·3/√10 = 1,739

Відповідь

E = 1,739

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 43

Виразіть n

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 43

Відповідь

n = 43

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,675

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Статистика критерію

t = (100,9 − 100)/1,333 = 0,675

Відповідь

t = 0,675

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 500,3

Похибка оцінки

E = 2,576·20/√49 = 7,36

Межа інтервалу

U = 492,9 + 7,36 = 500,3

Відповідь

U = 500,3

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9697

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2134 − 27·449/6 = 113,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 34383 − 449²/6 = 782,8

Коефіцієнт кореляції

r = 113,5/√(17,5·782,8) = 0,9697

Відповідь

r = 0,9697

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,33

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 134/6 = 22,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Лінія регресії

b = 214/70 = 3,057

a = 22,33 − 3,057·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 3,057·x

Прогноз

ŷ = 0,9333 + 3,057·7 = 22,33

Відповідь

ŷ = 22,33

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,7333

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 60·60/120 = 30, 60·30/120 = 15, 60·30/120 = 15

працівники: 60·60/120 = 30, 60·30/120 = 15, 60·30/120 = 15

Статистика хі-квадрат

χ² = (29 − 30)²/30 + (17 − 15)²/15 + (14 − 15)²/15 + (31 − 30)²/30 + (13 − 15)²/15 + (16 − 15)²/15

χ² = 0,7333

Відповідь

χ² = 0,7333

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 11,07

Ступені вільності

df = 6 − 1 = 5

Таблиця

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Відповідь

χ²_crit = 11,070

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology