Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Чому категорії поведінки в спостереженні операціоналізують до збирання даних?

AЩоб спостереження стало експериментом
BЩоб гіпотезу можна було змінити, побачивши дані
CЩоб учасники точно знали, що фіксують
DЩоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідниця порівнює три чи більше групових середніх. Чому вона використовує однофакторний дисперсійний аналіз, а не кілька t-тестів?

AКілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду
Bt-тести не працюють із числами понад 100
CДисперсійний аналіз завжди знаходить більші ефекти, ніж еквівалентний набір t-тестів
Dt-тестам потрібні якісні дані

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 20, 18, 40, 24, 52, 33.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 92,5?

μ = 100σ = 15x = 92,5

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 4

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€5: p = 0,3€50: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 110,1 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110,1 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 96,5 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 96,5s = 1095%t(9) = 2,262

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 8E = 0,590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 500,5 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,5s = 5n = 49

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 197,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 197,6σ = 10n = 6499%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 26). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 26)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Щоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність

Чому це відповідь

Чіткі, спостережувані категорії (наприклад, «б'є розкритою долонею») зменшують суб'єктивність суджень і підвищують надійність між спостерігачами.

Відповідь

D · Щоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

Чому це відповідь

Багато попарних тестів множать шанс хибнопозитивного результату. ANOVA перевіряє всі групи разом, після чого виконують скориговані post hoc тести.

Відповідь

A · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,68

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 229/7 = 32,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,286² + (−12,71)² + (−14,71)² + 7,286² + (−8,714)² + 19,29² + 0,2857² = 965,4

Стандартне відхилення

s = √(965,4/6) = 12,68

Відповідь

s = 12,68

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

5.Імовірність

Відповідь: N = 1001

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

Відповідь

N = 1001

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 1 €

Відповідь

E(G) = 1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2119

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 185,3 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Відповідь

x = 185,3 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 89,35

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Похибка оцінки

E = 2,262·10/√10 = 7,153

Інтервал

96,5 ± 7,153 → [89,35, 103,7]

Відповідь

нижня межа = 89,35

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 693

Виразіть n

n = (1,645·8/0,5)² = 692,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 693

Відповідь

n = 693

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерію

t = (500,5 − 500)/0,7143 = 0,7

Відповідь

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 194,4

Похибка оцінки

E = 2,576·10/√64 = 3,22

Межа інтервалу

L = 197,6 − 3,22 = 194,4

Відповідь

L = 194,4

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,998

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 457/6 = 76,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 437

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2739

Коефіцієнт кореляції

r = 437/√(70·2739) = 0,998

Відповідь

r = 0,998

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,2

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Лінія регресії

b = −20/10 = −2

a = 20,8 − (−2)·3 = 26,8

ŷ = 26,8 − 2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 26,8 + (−2)·1,5 = 23,8

Залишок

e = 26 − 23,8 = 2,2

Відповідь

e = 2,2

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,84

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25

працівники: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25

Статистика хі-квадрат

χ² = (45 − 50)²/50 + (22 − 25)²/25 + (33 − 25)²/25 + (55 − 50)²/50 + (28 − 25)²/25 + (17 − 25)²/25

χ² = 6,84

Відповідь

χ² = 6,84

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5

Очікувані частоти

лінія 1: 18, 42

лінія 2: 24, 56

лінія 3: 24, 56

Статистика хі-квадрат

χ² = (24 − 18)²/18 + (36 − 42)²/42 + (18 − 24)²/24 + (62 − 56)²/56 + (24 − 24)²/24 + (56 − 56)²/56

χ² = 5

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

5 < 9,210

Відповідь

χ² = 5

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology