Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Публікаційне упередження означає:

AЩо дослідники публікують те саме дослідження двічі
BЩо дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими
CЩо журнали публікують лише якісні дослідження
DЩо рецензенти віддають перевагу роботам авторів із відомих університетів порівняно з менш відомими

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Яка головна мета випадкового розподілу за умовами в експерименті?

AПідвищити рівень відгуку
BЗробити вибірку репрезентативною для цільової популяції, щоб результати можна було узагальнити
CРівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів
DГарантувати, що учасники не знають мети

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 48, 22, 22, 20, 38, 24.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 94?

μ = 100σ = 12x = 94

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 5p = 0,6

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8948. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8948

z =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 68 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 68s = 799%t(15) = 2,947

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 10 ділянок, середній урожай 63,5 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 72 kg, стандартне відхилення 1 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 63,5s₁ = 4n₂ = 12x̄₂ = 72s₂ = 199%t(20) = 2,845

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 100,9 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,9s = 5n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 125 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 34 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 34n₂ = 80

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 79?

n = 5ŷ = 79

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, без дефекту».

сума рядка = 97сума стовпця = 45N = 191

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

Чому це відповідь

Коли незначущі дослідження залишаються в шухлядах, опублікована література переоцінює розміри ефектів, що спотворює метааналізи.

Відповідь

B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів

Чому це відповідь

Випадковий розподіл урівноважує індивідуальні відмінності між умовами й підтримує причинні висновки. Випадкова вибірка стосується узагальнення на популяцію.

Відповідь

C · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,06

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 224/7 = 32

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18² + 16² + (−10)² + (−10)² + (−12)² + 6² + (−8)² = 1024

Стандартне відхилення

s = √(1024/6) = 13,06

Відповідь

s = 13,06

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 4,16

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14,4

Дисперсія

Var(X) = 14,4 − 3,2² = 4,16

Відповідь

Var(X) = 4,16

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,08704

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Додайте

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Відповідь

P = 0,08704

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,62

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8948)/2 = 0,9474

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9474 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,62

Відповідь

z = 1,62

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 251,3 g

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Відповідь

x = 251,3 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 73,16

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Похибка оцінки

E = 2,947·7/√16 = 5,157

Інтервал

68 ± 5,157 → [62,84, 73,16]

Відповідь

верхня межа = 73,16

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −5,109 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (9·4² + 11·1²)/20 = 7,75

s_p = 2,784

Похибка оцінки

E = 2,845·2,784·√(1/10 + 1/12) = 3,391

Інтервал

−8,5 ± 3,391 → [−11,89, −5,109]

Відповідь

верхня межа = −5,109 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,62

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерію

t = (100,9 − 100)/0,5556 = 1,62

Відповідь

t = 1,62

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,169

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 125/250 = 0,5

p̂₂ = 34/80 = 0,425

p̂ = 159/330 = 0,4818

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4818·0,5182·(1/250 + 1/80)) = 0,06418

Статистика критерію

z = (0,5 − 0,425)/0,06418 = 1,169

Відповідь

z = 1,169

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,985

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 105/6 = 17,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 237,5

Коефіцієнт кореляції

r = 127/√(70·237,5) = 0,985

Відповідь

r = 0,985

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 16,83

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 437/5 = 87,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Лінія регресії

b = 106/40 = 2,65

a = 87,4 − 2,65·20 = 34,4

ŷ = 34,4 + 2,65·x

Розв’яжіть щодо x

x = (79 − 34,4)/2,65 = 16,83

Відповідь

x = 16,83

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 22,85

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 97·45/191 = 22,85

Відповідь

E = 22,85

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 46,05

Очікувані частоти

лінія 1: 75, 25

лінія 2: 30, 10

лінія 3: 60, 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (94 − 75)²/75 + (6 − 25)²/25 + (31 − 30)²/30 + (9 − 10)²/10 + (40 − 60)²/60 + (40 − 20)²/20

χ² = 46,05

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

46,05 > 9,210

Відповідь

χ² = 46,05

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology