Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Надійність розщеплення навпіл передбачає:

AТестування двох половин вибірки в різний час
BПорівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
CПоділ вибірки на експериментальну й контрольну групи та порівняння їхніх балів
DВикористання двох спостерігачів, кожен — на половині сесій

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Кафедра психології залучає учасників лише з вступних курсів психології. Критики кажуть, що вибірки «WEIRD». Що це означає?

AЗахідні, освічені, індустріалізовані, багаті й демократичні вибірки, що можуть не узагальнюватися
BВибірки, залучені зваженими випадковими методами
CВибірки, що рано виходять із досліджень
DВибірки, поведінка яких надзвичайно дивна

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 27, 21, 10, 18, 44, 18.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 188.

μ = 170σ = 12x = 188

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 502 і 572 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 572

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 7 елементів має середнє 89 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 89s = 2,595%t(6) = 2,447

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 15E = 290%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 207,3 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 207,3s = 15n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 190%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 18). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(5, 18)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

Чому це відповідь

Якщо обидві половини вимірюють той самий конструкт, бали за ними мають сильно корелювати. Альфа Кронбаха поширює цю ідею на всі можливі поділи.

Відповідь

B · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Західні, освічені, індустріалізовані, багаті й демократичні вибірки, що можуть не узагальнюватися

Чому це відповідь

Генріх і колеги зазначили, що більшість учасників психологічних досліджень походять із суспільств WEIRD, які нерепрезентативні для людства, що загрожує популяційній валідності.

Відповідь

A · Західні, освічені, індустріалізовані, багаті й демократичні вибірки, що можуть не узагальнюватися

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,71

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 164/7 = 23,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,571² + 3,571² + (−2,429)² + (−13,43)² + (−5,429)² + 20,57² + (−5,429)² = 687,7

Стандартне відхилення

s = √(687,7/6) = 10,71

Відповідь

s = 10,71

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (188 − 170)/12 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

5.Імовірність

Відповідь: N = 2002

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Відповідь

N = 2002

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,4362

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Додайте

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Відповідь

P = 0,4362

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4441

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(0,05) = 0,9641 − 0,5199 = 0,4441

Відповідь

P = 0,4441

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 89,88 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 балів

Відповідь

x = 89,88 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,312

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Похибка оцінки

E = 2,447·2,5/√7 = 2,312

Відповідь

E = 2,312

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 153

Виразіть n

n = (1,645·15/2)² = 152,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 153

Відповідь

n = 153

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,92

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерію

t = (207,3 − 200)/2,5 = 2,92

Відповідь

t = 2,92

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Виразіть n

n = (1,645·5/1)² = 67,65

Округліть угору

n = 68

Відповідь

n = 68

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9892

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 381/5 = 76,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 574,8

Коефіцієнт кореляції

r = 75/√(10·574,8) = 0,9892

Відповідь

r = 0,9892

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 5,05

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Лінія регресії

b = 106/40 = 2,65

a = 15,6 − 2,65·6 = −0,3

ŷ = −0,3 + 2,65·x

Прогнозоване значення

ŷ = −0,3 + 2,65·5 = 12,95

Залишок

e = 18 − 12,95 = 5,05

Відповідь

e = 5,05

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 30,48

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 80·112/160 = 56, 80·48/160 = 24

жінки: 80·112/160 = 56, 80·48/160 = 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (72 − 56)²/56 + (8 − 24)²/24 + (40 − 56)²/56 + (40 − 24)²/24

χ² = 30,48

Відповідь

χ² = 30,48

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,083

Очікувані частоти

завод A: 16, 24

завод B: 32, 48

завод C: 32, 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (30 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48

χ² = 2,083

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,083 < 9,210

Відповідь

χ² = 2,083

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology