Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

  1. AРезультати стали статистично значущими
  2. BДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника
  3. CУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
  4. DУчасники могли самі обирати умови
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У тематичному аналізі аналітик переважно:

  1. AОбчислює середній бал за кожною темою, щоб порівняти їх статистично
  2. BЛише рахує частоту слів
  3. CПеревіряє числову гіпотезу
  4. DВиявляє повторювані смислові патерни в якісних даних
3.Описова статистикаСередня
15202530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 15, 52, 39, 16, 60, 58.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 177,2?

μ = 170σ = 12x = 177,2
P =
5.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5?6?7P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 7
P =
6.ІмовірністьСкладна
€p(x)−50,8200,15950,05

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€25: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
7.Нормальний розподілСередня
400 g398,1 gT = X₁ + … + X₁₀?

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 398,1 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 398,1 g
P =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 100x = ?25%

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 25%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 8, s = 3,5L = ?Ux̄ = 70E99%

Вибірка з 8 елементів має середнє 70 і стандартне відхилення s = 3,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 70s = 3,599%t(7) = 3,499
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 14E = 495%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−1,961,96z = ?

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 84,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 5 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 87,1 mm, відоме стандартне відхилення 14 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 84,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 80x̄₂ = 87,1 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 494.2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 500μ = 494,2σ = 16n = 64α = 0,05
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy252349462558659xy246505560

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 20Σy = 280Σx² = 90Σy² = 15794Σxy = 1143
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy357460575676786xy46607080ŷ = 60

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 60?

n = 5ŷ = 60
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
кашельбез кашлюРазомкурці5248100некурці204060Разом7288160

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 9 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 9
df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Виявляє повторювані смислові патерни в якісних даних

Чому це відповідь

Тематичний аналіз охоплює ознайомлення з даними, кодування, формування, перегляд і називання тем та написання звіту; у центрі — зміст, а не статистика.

Відповідь

D · Виявляє повторювані смислові патерни в якісних даних
3.Описова статистика

Відповідь: s = 20,35

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 240/6 = 40

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−25)² + 12² + (−1)² + (−24)² + 20² + 18² = 2070

Стандартне відхилення

s = √(2070/5) = 20,35

Відповідь

s = 20,35
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,7209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Відповідь

P = 0,7209
6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 3,75 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 20 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 3,75 €

Відповідь

E(G) = 3,75 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (398,1 − 400)/3,795 = −0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 89,88 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 балів

Відповідь

x = 89,88 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 65,67

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·3,5/√8 = 4,33

Інтервал

70 ± 4,33 → [65,67, 74,33]

Відповідь

нижня межа = 65,67
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 48

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·14/4)² = 47,06

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 48

Відповідь

n = 48
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,514

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(5²/50 + 14²/80) = √2,95 = 1,718

Статистика критерію

z = (84,5 − 87,1)/1,718 = −1,514

Відповідь

z = −1,514

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 89,53 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 16/√64 = 2
x̄c = 500 − 1,645·2 = 496,7

z при справжньому середньому

z = (496,7 − 494,2)/2 = 1,255

Потужність

потужність = P(Z < 1.255) = 89.53%
1 − β = 89,53%

Відповідь

1 − β = 89,53%
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,6812

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 1143 − 20·280/5 = 23
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 15794 − 280²/5 = 114

Коефіцієнт кореляції

r = 23/√(10·114) = 0,6812

Відповідь

r = 0,6812
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,541

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 354/5 = 70,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Лінія регресії

b = 74/10 = 7,4
a = 70,8 − 7,4·5 = 33,8
ŷ = 33,8 + 7,4·x

Розв’яжіть щодо x

x = (60 − 33,8)/7,4 = 3,541

Відповідь

x = 3,541
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,279

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 100·72/160 = 45, 100·88/160 = 55
некурці: 60·72/160 = 27, 60·88/160 = 33

Статистика хі-квадрат

χ² = (52 − 45)²/45 + (48 − 55)²/55 + (20 − 27)²/27 + (40 − 33)²/33
χ² = 5,279

Відповідь

χ² = 5,279

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 9 − 1 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology