Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
95% довірчий інтервал для середнього 50 становить від 46 до 54. Яке тлумачення найточніше?
- AІмовірність того, що середнє вибірки дорівнює 50, становить 95%
- BРезультат не значущий
- C95% окремих учасників вибірки набрали від 46 до 54 балів за цим вимірюванням
- DВикористана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Однофакторний ANOVA, що порівнює чотири групи, значущий. Що дослідник має зробити далі, щоб з'ясувати, які групи відрізняються?
- AПодати результат як кореляцію
- BПровести тест хі-квадрат для середніх
- CПровести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі
- DЗробити висновок, що всі чотири групи відрізняються одна від одної
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 51, 42, 46, 41, 53.
n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 78?
μ = 70σ = 8x = 78
P =
5.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,1, 0,15, 0,3
Var(X) =
6.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,1 і €200 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€50: p = 0,1€200: p = 0,01
E(G) = €
7.Нормальний розподілСередня
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 470 і 520 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 520
P =
8.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 134 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 124 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 134 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 124 hσ₂ = 20 h99%
E = h
10.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 6,1 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.
n = 16s = 6,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 78, стандартне відхилення 8. Група 2: 19 студентів, середній бал 87,1, стандартне відхилення 5,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 7x̄₁ = 78s₁ = 8n₂ = 19x̄₂ = 87,1s₂ = 5,5
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 16 вимірювань має середнє 120,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 120,8σ = 8n = 1695%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 18?
n = 5ŷ = 18
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
N = 2402 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: D · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
Чому це відповідь
95% ДІ дає діапазон правдоподібних значень параметра популяції. Вужчі інтервали, отримані на більших вибірках, означають точніші оцінки.
Відповідь
D · Використана процедура дає інтервали, що містять справжнє середнє в 95% випадків
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі
Чому це відповідь
Значущий F показує, що не всі середні рівні. Post hoc тести чи заплановані контрасти визначають, які пари відрізняються, контролюючи рівень помилок.
Відповідь
C · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі
3.Описова статистика
Відповідь: s = 5,32
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 233/5 = 46,6
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 4,4² + (−4,6)² + (−0,6)² + (−5,6)² + 6,4² = 113,2
Стандартне відхилення
s = √(113,2/4) = 5,32
Відповідь
s = 5,32
4.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
5.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 2,39
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,1
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,3 = 6,8
Дисперсія
Var(X) = 6,8 − 2,1² = 2,39
Відповідь
Var(X) = 2,39
6.Імовірність
Відповідь: E(G) = −3 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 40 (p = 0,1), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 40·0,1 + 190·0,01 − 10·0,89 = −3 €
Відповідь
E(G) = −3 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4648
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75
z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5
Площа між
P = Φ(0,5) − Φ(−0,75) = 0,6915 − 0,2266 = 0,4648
Відповідь
P = 0,4648
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 534 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,8
z з таблиці
z ≈ 0,84
Назад до початкових одиниць
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Відповідь
x = 534 h
9.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 10,31 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 134 − 124 = 10
Стандартна похибка
SE = √(19²/60 + 20²/40) = 4,002
Похибка оцінки
E = 2,576·4,002 = 10,31
Відповідь
E = 10,31 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
10.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 9,441 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 15·6,1² = 558,1
Межі для σ²
558,1/27,488 = 20,31
558,1/6,262 = 89,13
Межа для σ
σ = √89,13 = 9,441 µm
Відповідь
σ = 9,441 µm
95 % інтервал для σ: [4,506, 9,441] µm.
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,309
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (6·8² + 18·5,5²)/24 = 38,69
sp = 6,22
Стандартна похибка
SE = 6,22·√(1/7 + 1/19) = 2,75
Статистика критерію
t = (78 − 87,1)/2,75 = −3,309
Відповідь
t = −3,309
При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 124,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·8/√16 = 3,92
Межа інтервалу
U = 120,8 + 3,92 = 124,7
Відповідь
U = 124,7
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9907
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 538/6 = 89,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 768
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3815
Коефіцієнт кореляції
r = 768/√(157,5·3815) = 0,9907
Відповідь
r = 0,9907
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,6
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Лінія регресії
b = −20/10 = −2
a = 19,2 − (−2)·3 = 25,2
ŷ = 25,2 − 2·x
Розв’яжіть щодо x
x = (18 − 25,2)/(−2) = 3,6
Відповідь
x = 3,6
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 5,079
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
курці: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
некурці: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
Статистика хі-квадрат
χ² = (28 − 36)²/36 + (92 − 84)²/84 + (44 − 36)²/36 + (76 − 84)²/84
χ² = 5,079
Відповідь
χ² = 5,079
df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ²crit = 20,09
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Ступені вільності
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
Таблиця
χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090
Відповідь
χ²crit = 20,090
Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology