Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Поперечне дослідження одночасно порівнює використання технологій 20-, 40- і 60-річними. Яка проблема може змішуватися з віковим порівнянням?

AКогортні ефекти
BЕфекти порядку
CЕфекти практики
DЕфекти підлоги

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Збільшення обсягу вибірки в дослідженні найбезпосередніше:

AУсуває будь-яке зміщення вибірки
BЗбільшує розмір ефекту
CГарантує статистично значущий результат, якщо будь-який ефект існує
DПідвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 40, 33, 37, 15, 36.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 75. Яка частка P значень більша за 545?

μ = 500σ = 75x = 545

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 8p = 0,5k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9676. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9676

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 61 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 61s = 1690%t(9) = 1,833

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

20 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −1,89, стандартне відхилення різниць 4,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −1,89s_d = 4,7

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 399%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 33Σy = 493Σx² = 199Σy² = 41505Σxy = 2841

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Когортні ефекти

Чому це відповідь

Різні вікові групи виховувалися в різних історичних умовах, тож відмінності можуть відображати покоління (когорту), а не саме старіння.

Відповідь

A · Когортні ефекти

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

Чому це відповідь

Більші вибірки зменшують стандартну похибку й підвищують потужність. Вони не змінюють справжнього розміру ефекту й не усувають систематичного зміщення.

Відповідь

D · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,69

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 171/6 = 28,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,5)² + 11,5² + 4,5² + 8,5² + (−13,5)² + 7,5² = 805,5

Стандартне відхилення

s = √(805,5/5) = 12,69

Відповідь

s = 12,69

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1094

Біноміальна формула

P(X = 2) = 28·0,5²·0,5⁶ = 28·0,25·0,01563 = 0,1094

Відповідь

P = 0,1094

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,14

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9838 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,14

Відповідь

z = 2,14

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8849

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 70,27

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Похибка оцінки

E = 1,833·16/√10 = 9,274

Інтервал

61 ± 9,274 → [51,73, 70,27]

Відповідь

верхня межа = 70,27

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Округліть угору

n = 752

Відповідь

n = 752

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,798

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 4,7/√20 = 1,051

Статистика критерію

t = −1,89/1,051 = −1,798

Відповідь

t = −1,798

При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 48

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·8/3)² = 47,19

Округліть угору

n = 48

Відповідь

n = 48

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9805

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2841 − 33·493/6 = 129,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 41505 − 493²/6 = 996,8

Коефіцієнт кореляції

r = 129,5/√(17,5·996,8) = 0,9805

Відповідь

r = 0,9805

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 45,17

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 282/6 = 47

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Лінія регресії

b = 32/17,5 = 1,829

a = 47 − 1,829·4,5 = 38,77

ŷ = 38,77 + 1,829·x

Прогноз

ŷ = 38,77 + 1,829·3,5 = 45,17

Відповідь

ŷ = 45,17

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 7,179

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 60·42/120 = 21, 60·78/120 = 39

некурці: 60·42/120 = 21, 60·78/120 = 39

Статистика хі-квадрат

χ² = (28 − 21)²/21 + (32 − 39)²/39 + (14 − 21)²/21 + (46 − 39)²/39

χ² = 7,179

Відповідь

χ² = 7,179

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 51,48

Очікувані частоти

вік 18–30: 60, 20

вік 31–50: 60, 20

вік 51+: 75, 25

Статистика хі-квадрат

χ² = (39 − 60)²/60 + (41 − 20)²/20 + (78 − 60)²/60 + (2 − 20)²/20 + (78 − 75)²/75 + (22 − 25)²/25

χ² = 51,48

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

51,48 > 9,210

Відповідь

χ² = 51,48

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology