Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Вимоги ситуації (demand characteristics) — це:

AПідказки, через які учасники здогадуються про мету й змінюють поведінку
BХарактеристики вибірки
CСтатистичні вимоги тесту
DОфіційні вимоги етичного комітету до початку дослідження

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
BЩоб контрбалансувати порядок умов
CЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
DЯк основну залежну змінну дослідження

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 21, 44, 34, 33.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 45.

μ = 60σ = 10x = 45

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 96,25 і 118 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 96,25x₂ = 118

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 39,5 і стандартне відхилення s = 12. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 39,5s = 1299%t(19) = 2,861

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 26E = 0,590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 84,5, стандартне відхилення 3,5. Група 2: 16 студентів, середній бал 86,6, стандартне відхилення 3. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 84,5s₁ = 3,5n₂ = 16x̄₂ = 86,6s₂ = 3

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 196,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 196,4σ = 8n = 3699%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, автобус».

сума рядка = 108сума стовпця = 57N = 201

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 11 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 11

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Підказки, через які учасники здогадуються про мету й змінюють поведінку

Чому це відповідь

Коли учасники здогадуються про гіпотезу, вони можуть поводитися так, щоб її підтвердити чи зірвати, що загрожує валідності. Це зменшують обман і сліпі методи.

Відповідь

A · Підказки, через які учасники здогадуються про мету й змінюють поведінку

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,13

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 142/5 = 28,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,4)² + (−7,4)² + 15,6² + 5,6² + 4,6² = 689,2

Стандартне відхилення

s = √(689,2/4) = 13,13

Відповідь

s = 13,13

4.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (45 − 60)/10 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,922

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3,1

Дисперсія

Var(X) = 3,1 − 1,5² = 0,85

σ = √0,85 = 0,922

Відповідь

σ = 0,922

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,3221

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8¹¹ = 0,0859

P(X = 1) = 11·0,2·0,8¹⁰ = 0,2362

Додайте

P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221

Відповідь

P = 0,3221

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4836

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(−0,25) = 0,8849 − 0,4013 = 0,4836

Відповідь

P = 0,4836

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 174,4 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Відповідь

x = 174,4 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 31,82

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Похибка оцінки

E = 2,861·12/√20 = 7,677

Інтервал

39,5 ± 7,677 → [31,82, 47,18]

Відповідь

нижня межа = 31,82

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 7318

Виразіть n

n = (1,645·26/0,5)² = 7317

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 7318

Відповідь

n = 7318

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,317

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·3,5² + 15·3²)/19 = 9,684

s_p = 3,112

Стандартна похибка

SE = 3,112·√(1/5 + 1/16) = 1,594

Статистика критерію

t = (84,5 − 86,6)/1,594 = −1,317

Відповідь

t = −1,317

При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 193

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√36 = 3,435

Межа інтервалу

L = 196,4 − 3,435 = 193

Відповідь

L = 193

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9525

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 738/6 = 123

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2018

Коефіцієнт кореляції

r = 358/√(70·2018) = 0,9525

Відповідь

r = 0,9525

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,489

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 130/6 = 21,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Лінія регресії

b = −29/17,5 = −1,657

a = 21,67 − (−1,657)·3,5 = 27,47

ŷ = 27,47 − 1,657·x

Розв’яжіть щодо x

x = (25 − 27,47)/(−1,657) = 1,489

Відповідь

x = 1,489

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 30,63

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 108·57/201 = 30,63

Відповідь

E = 30,63

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 10

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Відповідь

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology