Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Приблизно який відсоток балів у нормальному розподілі лежить у межах одного стандартного відхилення від середнього?

A99,7%
B68%
C95%
D50%

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Метааналіз об'єднує 40 досліджень певної терапії. Чому його загальний розмір ефекту все ж може бути завеликим?

AЧерез публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами
BМетааналізи не можуть охоплювати рандомізовані випробування
CОб'єднання досліджень завжди усуває будь-яке упередження
DМетааналізи завжди дають менші ефекти, ніж окремі дослідження, які вони включають

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 43, 27, 24, 37, 39.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 80.

μ = 50σ = 15x = 80

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€15: p = 0,3€100: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 30,5 і 39,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 39,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,5. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?

99%n₁ = 25E₁ = 5,595%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 40E = 390%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 6 студентів, середній бал 37,5, стандартне відхилення 7. Група 2: 11 студентів, середній бал 27, стандартне відхилення 6,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 6x̄₁ = 37,5s₁ = 7n₂ = 11x̄₂ = 27s₂ = 6,5

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 21. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 5σ = 21z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · 68%

Чому це відповідь

Близько 68% балів лежать у межах ±1 SD, близько 95% — у межах ±2 SD і близько 99,7% — у межах ±3 SD.

Відповідь

B · 68%

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Через публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами

Чому це відповідь

Якщо нульові результати публікують рідше, об'єднаний ефект завищено. Воронкові діаграми й пошук неопублікованих даних допомагають це виявити та зменшити.

Відповідь

A · Через публікаційне упередження можуть бракувати неопублікованих досліджень із нульовими результатами

3.Описова статистика

Відповідь: s = 8,124

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 170/5 = 34

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9² + (−7)² + (−10)² + 3² + 5² = 264

Стандартне відхилення

s = √(264/4) = 8,124

Відповідь

s = 8,124

4.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (80 − 50)/15 = 2

Відповідь

z = 2

5.Імовірність

Відповідь: N = 252

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Відповідь

N = 252

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 4,5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 10 (p = 0,3), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,3 + 95·0,05 − 5·0,65 = 4,5 €

Відповідь

E(G) = 4,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4931

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (39,5 − 32)/6 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931

Відповідь

P = 0,4931

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 39,69 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Відповідь

x = 39,69 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,185

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609

Нова похибка

E₂ = 5,5·0,7609 = 4,185

Відповідь

E₂ = 4,185

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 482

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·40/3)² = 481,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 482

Відповідь

n = 482

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,101

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (5·7² + 10·6,5²)/15 = 44,5

s_p = 6,671

Стандартна похибка

SE = 6,671·√(1/6 + 1/11) = 3,386

Статистика критерію

t = (37,5 − 27)/3,386 = 3,101

Відповідь

t = 3,101

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 152

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·21/5)² = 151,1

Округліть угору

n = 152

Відповідь

n = 152

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,984

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 87/6 = 14,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 245,5

Коефіцієнт кореляції

r = 129/√(70·245,5) = 0,984

Відповідь

r = 0,984

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,6

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 135/5 = 27

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

Лінія регресії

b = 176/40 = 4,4

a = 27 − 4,4·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 4,4·x

Прогноз

ŷ = 0,6 + 4,4·5 = 22,6

Відповідь

ŷ = 22,6

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 26,79

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

працівники: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (48 − 36)²/36 + (41 − 36)²/36 + (31 − 48)²/48 + (12 − 24)²/24 + (19 − 24)²/24 + (49 − 32)²/32

χ² = 26,79

Відповідь

χ² = 26,79

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology