Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартна похибка середнього зменшується, коли:

AОбсяг вибірки зменшується
BЗмінну вимірюють на порядковому рівні
CСереднє збільшується
DОбсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Однофакторний ANOVA, що порівнює чотири групи, значущий. Що дослідник має зробити далі, щоб з'ясувати, які групи відрізняються?

AПровести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі
BЗробити висновок, що всі чотири групи відрізняються одна від одної
CПровести тест хі-квадрат для середніх
DПодати результат як кореляцію

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 15, 32, 23, 57.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 210.

μ = 170σ = 20x = 210

z =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5

P =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,15 і €250 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€10: p = 0,15€250: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 769,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −2,5 і стандартне відхилення 7,6. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 20d̄ = −2,5s_d = 7,690%t(19) = 1,729

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 56 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 49 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 56s₁ = 5,5n₂ = 7x̄₂ = 49s₂ = 6,599%t(12) = 3,055

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 78,87 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,87s = 12n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 20E = 299%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Обсяг вибірки збільшується

Чому це відповідь

Стандартна похибка оцінює, наскільки середні вибірок коливаються навколо середнього популяції. Більші вибірки дають точніші оцінки.

Відповідь

D · Обсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі

Чому це відповідь

Значущий F показує, що не всі середні рівні. Post hoc тести чи заплановані контрасти визначають, які пари відрізняються, контролюючи рівень помилок.

Відповідь

A · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,77

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 146/5 = 29,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−10,2)² + (−14,2)² + 2,8² + (−6,2)² + 27,8² = 1125

Стандартне відхилення

s = √(1125/4) = 16,77

Відповідь

s = 16,77

4.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (210 − 170)/20 = 2

Відповідь

z = 2

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1,5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 5 (p = 0,15), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 5·0,15 + 245·0,02 − 5·0,83 = 1,5 €

Відповідь

E(G) = 1,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 27,95 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Відповідь

x = 27,95 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 0,4383 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 19, t = 1,729

Похибка оцінки

E = 1,729·7,6/√20 = 2,938

Інтервал

−2,5 ± 2,938 → [−5,438, 0,4383]

Відповідь

верхня межа = 0,4383 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,83 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·5,5² + 6·6,5²)/12 = 36,25

s_p = 6,021

Похибка оцінки

E = 3,055·6,021·√(1/7 + 1/7) = 9,832

Інтервал

7 ± 9,832 → [−2,832, 16,83]

Відповідь

верхня межа = 16,83 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,903

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Статистика критерію

t = (78,87 − 75)/1,333 = 2,903

Відповідь

t = 2,903

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 664

Виразіть n

n = (2,576·20/2)² = 663,6

Округліть угору

n = 664

Відповідь

n = 664

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9979

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 132/6 = 22

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 506

Коефіцієнт детермінації

r² = 188²/(70·506) = 0,9979

Відповідь

r² = 0,9979

Близько 99,79% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 19,15

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

Лінія регресії

b = 170/40 = 4,25

a = 23,4 − 4,25·6 = −2,1

ŷ = −2,1 + 4,25·x

Прогноз

ŷ = −2,1 + 4,25·5 = 19,15

Відповідь

ŷ = 19,15

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,981

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

нічна зміна: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21

Статистика хі-квадрат

χ² = (6 − 8)²/8 + (13 − 18)²/18 + (21 − 14)²/14 + (14 − 12)²/12 + (32 − 27)²/27 + (14 − 21)²/21

χ² = 8,981

Відповідь

χ² = 8,981

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 11,07

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Таблиця

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Відповідь

χ²_crit = 11,070

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology