Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Помилка I роду виникає, коли дослідник:

AЗбирає забагато даних
BНе відхиляє хибну нульову гіпотезу
CВикористовує не той статистичний тест
DВідхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У дослідженнях слухняності Мілґрема учасники вважали, що завдають справжніх ударів струмом. Яку етичну проблему це порушує найбезпосередніше і як її частково розв'язали?

AОбман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом
BВідсутність контрольної групи, розв'язана випадковим розподілом учасників за умовами
CЗалучення дітей, розв'язане згодою батьків
DБрак конфіденційності, розв'язаний публікацією імен

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 50, 33, 51, 52, 59, 38.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 125?

μ = 100σ = 20x = 125

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,5098. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,5098

z =

8.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів95%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 103,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 117 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 103,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 117 hσ₂ = 14 h90%

верхня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,4 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.

n = 10s = 8,4 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 101 mm, відоме стандартне відхилення лінії 9 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 98,5 mm, відоме стандартне відхилення 6 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 101 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 98,5 mmσ₂ = 6 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 73,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 73,9σ = 4n = 3690%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 35Σy = 469Σx² = 285Σy² = 45743Σxy = 3547

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 19). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 19)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 9 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 9

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Відхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

Чому це відповідь

Помилка I роду стверджує ефект, якого немає. Її ймовірність дорівнює рівню значущості (часто 0,05). Помилка II роду — пропуск справжнього ефекту.

Відповідь

D · Відхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

Чому це відповідь

Учасників обманули щодо ударів струмом, і багато з них відчували сильний стрес. Мілґрем провів дебрифінг і влаштував зустріч з «учнем»; подальше опитування показало, що більшість раді були взяти участь, але етичні питання досі обговорюють.

Відповідь

A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

3.Описова статистика

Відповідь: s = 8,886

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 332/7 = 47,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,571² + 2,571² + (−14,43)² + 3,571² + 4,571² + 11,57² + (−9,429)² = 473,7

Стандартне відхилення

s = √(473,7/6) = 8,886

Відповідь

s = 8,886

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 6,19

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6

Дисперсія

Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19

Відповідь

Var(X) = 6,19

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,609

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Відповідь

σ_Y = 1,609

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,05 + 4 = 1,9.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,69

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,5098)/2 = 0,7549

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7549 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,69

Відповідь

z = 0,69

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,6 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 балів

Відповідь

x = 48,6 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −9,194 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 117 = −13,5

Стандартна похибка

SE = √(4²/50 + 14²/30) = 2,618

Похибка оцінки

E = 1,645·2,618 = 4,306

Інтервал

−13,5 ± 4,306 → [−17,81, −9,194]

Відповідь

верхня межа = −9,194 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 5,778 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 9·8,4² = 635

Межі для σ²

635/19,023 = 33,38

635/2,7 = 235,2

Межа для σ

σ = √33,38 = 5,778 µm

Відповідь

σ = 5,778 µm

95 % інтервал для σ: [5,778, 15,34] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,79

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(9²/60 + 6²/60) = √1,95 = 1,396

Статистика критерію

z = (101 − 98,5)/1,396 = 1,79

Відповідь

z = 1,79

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 72,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·4/√36 = 1,097

Межа інтервалу

L = 73,9 − 1,097 = 72,8

Відповідь

L = 72,8

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9976

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 3547 − 35·469/5 = 264

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 45743 − 469²/5 = 1751

Коефіцієнт кореляції

r = 264/√(40·1751) = 0,9976

Відповідь

r = 0,9976

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,6

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

Лінія регресії

b = −12/10 = −1,2

a = 18,8 − (−1,2)·3 = 22,4

ŷ = 22,4 − 1,2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 22,4 + (−1,2)·1,5 = 20,6

Залишок

e = 19 − 20,6 = −1,6

Відповідь

e = −1,6

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,2381

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28

некурці: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (11 − 12)²/12 + (29 − 28)²/28 + (13 − 12)²/12 + (27 − 28)²/28

χ² = 0,2381

Відповідь

χ² = 0,2381

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Ступені вільності

df = 9 − 1 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology