Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Які дані збирає відкрите запитання в інтерв'ю?

AЯкісні дані
BІнтервальні дані
CЛише номінальні кількісні дані
DДані шкали відношень

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
BПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе
CВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
DОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 26, 24, 44, 23.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 56.

μ = 60σ = 8x = 56

z =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 10p = 0,2k = 3

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 303,5 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 303,5 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 6,9. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?

99%n₁ = 50E₁ = 6,9n₂ = 200

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 98 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Група ділянок 2: 26 ділянок, середнє 94,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 98s₁ = 8,5n₂ = 26x̄₂ = 94,5s₂ = 1099%t(29) = 2,756

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 250; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 248,8. Перевірте H₀: μ = 250 проти H₁: μ ≠ 250. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 250σ = 12n = 144x̄ = 248,8H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 50 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 33 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 33n₂ = 150

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 19.

n = 6x = 19

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Якісні дані

Чому це відповідь

Відкриті запитання дають багаті якісні дані, які важче аналізувати статистично, ніж відповіді на закриті запитання.

Відповідь

A · Якісні дані

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,32

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 166/5 = 33,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15,8² + (−7,2)² + (−9,2)² + 10,8² + (−10,2)² = 606,8

Стандартне відхилення

s = √(606,8/4) = 12,32

Відповідь

s = 12,32

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (56 − 60)/8 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2013

Біноміальна формула

P(X = 3) = 120·0,2³·0,8⁷ = 120·0,008·0,2097 = 0,2013

Відповідь

P = 0,2013

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02169

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Стандартизуйте

z = (303,5 − 300)/1,732 = 2,02

Імовірність

P = 1 − Φ(2,02) = 0,02169

Відповідь

P = 0,02169

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9616

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Відповідь

P = 0,9616

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 3,45

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/200) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 6,9·0,5 = 3,45

Відповідь

E₂ = 3,45

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,7 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·8,5² + 25·10²)/29 = 96,17

s_p = 9,807

Похибка оцінки

E = 2,756·9,807·√(1/5 + 1/26) = 13,2

Інтервал

3,5 ± 13,2 → [−9,698, 16,7]

Відповідь

верхня межа = 16,7 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2301

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (248,8 − 250)/1 = −1,2

Площа хвоста

Φ(1,2) = 0,8849

1 − Φ(1,2) = 0,1151

p-значення

p = 2·0,1151 = 0,2301

Відповідь

p = 0,2301

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,653

Вибіркові частки

p̂₁ = 50/200 = 0,25

p̂₂ = 33/150 = 0,22

p̂ = 83/350 = 0,2371

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2371·0,7629·(1/200 + 1/150)) = 0,04594

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,22)/0,04594 = 0,653

Відповідь

z = 0,653

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9918

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 447/6 = 74,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2410

Коефіцієнт детермінації

r² = 409²/(70·2410) = 0,9918

Відповідь

r² = 0,9918

Близько 99,18% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 85,27

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 645/6 = 107,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 389

Лінія регресії

b = 389/70 = 5,557

a = 107,5 − 5,557·23 = −20,31

ŷ = −20,31 + 5,557·x

Прогноз

ŷ = −20,31 + 5,557·19 = 85,27

Відповідь

ŷ = 85,27

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 7,639

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·88/220 = 48, 120·132/220 = 72

плацебо: 100·88/220 = 40, 100·132/220 = 60

Статистика хі-квадрат

χ² = (38 − 48)²/48 + (82 − 72)²/72 + (50 − 40)²/40 + (50 − 60)²/60

χ² = 7,639

Відповідь

χ² = 7,639

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,175

Очікувані частоти

лінія 1: 24, 56

лінія 2: 18, 42

лінія 3: 12, 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (24 − 24)²/24 + (56 − 56)²/56 + (14 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (16 − 12)²/12 + (24 − 28)²/28

χ² = 3,175

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,175 < 5,991

Відповідь

χ² = 3,175

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology